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Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

MatemáticaGeral
Código
vu167372
Banca
VUNESP
Órgão
FICSAE
Ano
2026
Cargo
Vest ( )
Em um quadrado ABCD, com 12 cm de lado, foram marcados os pontos E e F, respectivamente, sobre os lados \overline{BC} e \overline{AB}, de modo que EF = 5 cm e DE = 15 cm, conforme mostra a figura.   A área do triângulo DEF éImagem associada para resolução da questão
  1. A36,0 cm2.
  2. B37,5 cm2.
  3. C40,0 cm2.
  4. D42,5 cm2.
  5. E44,0 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 36,0 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 36,0 cm² — alternativa A.

A ideia por trás

A área de uma figura plana é a medida da superfície que ela ocupa, em unidades quadradas. Para um triângulo, a fórmula mais comum é base vezes altura dividido por dois, mas quando o triângulo está 'torto' dentro de outra figura, como aqui, muitas vezes é mais fácil calcular a área da figura maior e subtrair as partes que não fazem parte do triângulo.

O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c². Ele vale apenas para triângulos com um ângulo reto, e é a ferramenta certa para descobrir distâncias desconhecidas quando conhecemos duas outras. Aqui, os pontos E e F estão sobre os lados do quadrado, criando triângulos retângulos nos cantos, então podemos usar Pitágoras para achar as posições deles.

Esta questão pede a área de um triângulo inclinado dentro de um quadrado. A estratégia é usar Pitágoras para localizar os pontos E e F, depois calcular a área do triângulo DEF subtraindo do quadrado as áreas dos três triângulos retângulos que sobram.

O que a questão dá

  • lado do quadrado = 12 cm

  • EF = 5 cm

  • DE = 15 cm

O que queremos: a área do triângulo DEF

Passo 1 — Descobrir a posição do ponto E

O ponto E está sobre o lado BC, e conhecemos a distância DE = 15 cm. O triângulo DCE é retângulo em C, porque DC é lado do quadrado e CE é parte do outro lado. Com Pitágoras, achamos CE e, com isso, BE.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo DCE, a hipotenusa é DE, e os catetos são DC (lado do quadrado) e CE. O Teorema de Pitágoras relaciona esses três lados.

DC2+CE2=DE2DC^{2} + CE^{2} = DE^{2}

De onde vem cada valor: DCDC = enunciado: lado do quadrado = 12 cm · CECE = incógnita: queremos achar · DEDE = enunciado: 15 cm

122+CE2=15212^{2} + CE^{2} = 15^{2}
CE=9 cmCE = \boxed{9\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que CE é a diferença entre o lado e BE, e usar CE = 12 - x direto sem montar a equação.

Passo 2 — Descobrir a posição do ponto F

Agora que sabemos BE = 3 cm, podemos usar o triângulo retângulo EBF, que tem hipotenusa EF = 5 cm. Com Pitágoras, achamos BF e, com isso, AF.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo EBF, os catetos são BE e BF, e a hipotenusa é EF. O Teorema de Pitágoras relaciona esses lados.

BE2+BF2=EF2BE^{2} + BF^{2} = EF^{2}

De onde vem cada valor: BEBE = passo 1: 3 cm · BFBF = incógnita: queremos achar · EFEF = enunciado: 5 cm

32+BF2=523^{2} + BF^{2} = 5^{2}
BF=4 cmBF = \boxed{4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar BE = 9 cm (que é CE) em vez de 3 cm, o que daria BF errado.

Passo 3 — Calcular a área do quadrado

Para achar a área do triângulo DEF por subtração, precisamos primeiro da área total do quadrado, que é a figura que contém o triângulo.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é o quadrado do lado.

Aquad=l2A_{quad} = l^{2}

De onde vem cada valor: ll = enunciado: 12 cm

Aquad=122=144 cm2A_{quad} = 12^{2} = \boxed{144\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado e usar 12 cm como área.

Passo 4 — Calcular as áreas dos triângulos dos cantos

O triângulo DEF ocupa o quadrado menos três triângulos retângulos: ADF, DCE e EBF. Cada um tem catetos que já conhecemos, então calculamos suas áreas.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos, pois um cateto é a base e o outro é a altura.

Atri=cateto1×cateto22A_{tri} = \frac{cateto_1 \times cateto_2}{2}

De onde vem cada valor: cateto1cateto_1 = para ADF: AD = 12 cm (enunciado), AF = 8 cm (passo 2: 12 - 4); para DCE: DC = 12 cm (enunciado), CE = 9 cm (passo 1); para EBF: BE = 3 cm (passo 1), BF = 4 cm (passo 2) · cateto2cateto_2 = para ADF: AD = 12 cm (enunciado), AF = 8 cm (passo 2: 12 - 4); para DCE: DC = 12 cm (enunciado), CE = 9 cm (passo 1); para EBF: BE = 3 cm (passo 1), BF = 4 cm (passo 2)

AADF=12×82=48;ADCE=12×92=54;AEBF=3×42=6A_{ADF} = \frac{12 \times 8}{2} = 48; A_{DCE} = \frac{12 \times 9}{2} = 54; A_{EBF} = \frac{3 \times 4}{2} = 6

AADFA_{ADF} = 48 cm², 54 cm² e 6 cm²

NÃO CAIA NESSA!

Confundir os catetos de cada triângulo, por exemplo, usar AF = 4 em vez de 8.

Passo 5 — Subtrair as áreas dos cantos da área do quadrado

A área do triângulo DEF é o que sobra do quadrado depois de tirar os três triângulos dos cantos. Somamos as áreas deles e subtraímos do total.

Por que esta fórmula: A área do quadrado é a soma das áreas das quatro partes: o triângulo DEF e os três triângulos dos cantos. Isolando a área de DEF, subtraímos.

ADEF=Aquad−(AADF+ADCE+AEBF)A_{DEF} = A_{quad} - (A_{ADF} + A_{DCE} + A_{EBF})

De onde vem cada valor: AquadA_{quad} = passo 3: 144 cm² · AADFA_{ADF} = passo 4: 48 cm² · ADCEA_{DCE} = passo 4: 54 cm² · AEBFA_{EBF} = passo 4: 6 cm²

ADEF=144−(48+54+6)=36 cm2A_{DEF} = 144 - (48 + 54 + 6) = \boxed{36\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as áreas dos cantos e esquecer de subtrair do total, ou errar a soma (48+54+6=108, não 118).

Resposta: 36,0 cm² — alternativa A

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