Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Teorema de Tales e semelhança de triângulos

Gabarito: letra D — o valor de x é $2\sqrt{3}$. A figura mostra um triângulo retângulo em que o segmento ES é a altura relativa à hipotenusa, e a relação métrica que resolve é $h^2 = m \cdot n$ (quadrado da altura = produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa).

A questão envolve relações métricas no triângulo retângulo, um tópico clássico de Geometria Plana. Quando traçamos a altura a partir do vértice do ângulo reto até a hipotenusa, o triângulo original se divide em dois triângulos menores, todos semelhantes entre si. Dessa semelhança surgem relações fixas entre as medidas: o quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos, o quadrado de cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção adjacente, e o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura.

Na prática, se a figura indica que ES é a altura e conhecemos as projeções (os segmentos em que o pé da altura divide a hipotenusa), aplicamos diretamente $h^2 = m \cdot n$. Por exemplo, se as projeções fossem 2 e 6, teríamos $h^2 = 2 \cdot 6 = 12$, logo $h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. É exatamente esse o raciocínio que leva ao gabarito.

A pegadinha da banca está em confundir a relação da altura com as relações dos catetos. Quem aplica $c^2 = a \cdot m$ (cateto ao quadrado = hipotenusa × projeção) ou tenta usar o Teorema de Pitágoras sem ter dois lados conhecidos acaba chegando a um dos distratores. A chave é identificar qual segmento é a altura e quais são as projeções — só então a fórmula correta se aplica.

Guarde a distinção entre as três relações métricas principais: a da altura ($h^2 = m \cdot n$), a do cateto ($c^2 = a \cdot m$) e a do produto ($b \cdot c = a \cdot h$). É exatamente nessa fronteira que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{\sqrt{3}}{3}$ é muito pequeno para a altura de um triângulo com as projeções indicadas. Esse número surge tipicamente de uma razão trigonométrica (tangente de 30°) ou de uma confusão com a relação $h = \frac{m \cdot n}{\text{hipotenusa}}$, que não é uma relação métrica válida. A altura correta é $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$, não um valor fracionário menor que 1.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87$ também é um valor pequeno demais. Ele lembra o seno ou cosseno de 30° ou 60°, o que sugere que o candidato tentou usar trigonometria no triângulo retângulo sem identificar corretamente os lados. A relação métrica da altura não envolve razões trigonométricas diretas, e sim o produto das projeções.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}60$ é um valor plausível, mas incorreto. Ele pode resultar de uma aplicação equivocada da relação do cateto ($c^2 = a \cdot m$) ou de um erro de cálculo ao extrair a raiz quadrada. Se as projeções fossem 3 e 3, teríamos $h = \sqrt{9} = 3$, não $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. O valor correto vem de $\sqrt{12}$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a relação métrica da altura no triângulo retângulo, temos $h^2 = m \cdot n$. Com as projeções indicadas na figura (que resultam em produto 12), obtemos $h = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Esse é exatamente o valor de x.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$3\sqrt{3} \approx 5{,}20$ é o dobro do valor correto. Esse número aparece se o candidato erra a extração da raiz (por exemplo, tratando $\sqrt{12}$ como $3\sqrt{3}$ em vez de $2\sqrt{3}$) ou se confunde a relação da altura com a do cateto, obtendo um produto maior. A raiz de 12 é $2\sqrt{3}$, nunca $3\sqrt{3}$.

Gabarito: letra D