Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Trigonometria no triângulo retângulo: relação fundamental

Gabarito: letra E. Se o seno de um ângulo agudo é $\frac{1}{3}$, o cosseno desse mesmo ângulo é $\frac{2\sqrt{2}}{3}$, obtido pela relação fundamental da trigonometria: $\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. Essa identidade vale para qualquer ângulo e é a chave para resolver a questão.

A trigonometria no triângulo retângulo estuda as razões entre os lados do triângulo em função de seus ângulos agudos. Para um ângulo agudo $\theta$, define-se:

• $\operatorname{sen} \theta = \dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$

• $\cos \theta = \dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$

• $\operatorname{tg} \theta = \dfrac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta}$

A relação fundamental $\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ decorre diretamente do Teorema de Pitágoras: se os catetos medem $a$ e $b$ e a hipotenusa mede $c$, então $a^2 + b^2 = c^2$. Dividindo tudo por $c^2$, obtemos $\left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = 1$, ou seja, $\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.

Exemplo aplicado: Se $\operatorname{sen} \theta = \frac{1}{3}$, então:

Como o ângulo é agudo, o cosseno é positivo, então tomamos a raiz positiva.

Distinção importante: A relação fundamental é diferente das razões trigonométricas dos ângulos notáveis (30°, 45°, 60°), que são valores tabelados. Aqui, o ângulo não é notável, então usamos a identidade para calcular o cosseno a partir do seno.

Pegadinha da banca: Algumas alternativas trazem valores que correspondem a senos/cossenos de ângulos notáveis (como $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ou $\frac{1}{2}$), tentando induzir o candidato a confundir com ângulos de 30° ou 60°. A questão, porém, não envolve ângulos notáveis — exige apenas a aplicação da relação fundamental.

Guarde a relação fundamental $\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$: é ela que resolve qualquer questão que forneça uma razão trigonométrica e peça outra, desde que o ângulo esteja no primeiro quadrante (agudo).

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{3}}{4}$ não corresponde ao cosseno calculado. Esse valor não tem relação com a relação fundamental aplicada a $\operatorname{sen} \theta = \frac{1}{3}$; provavelmente é um distrator numérico aleatório.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ é o cosseno de 30°, um ângulo notável. A banca tenta confundir quem associa $\frac{1}{3}$ a um ângulo próximo de 30°, mas o cosseno de 30° é $\frac{\sqrt{3}}{2}$, não o cosseno do ângulo cujo seno é $\frac{1}{3}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ é um valor maior que 1, o que é impossível para um cosseno (o cosseno de qualquer ângulo real está sempre entre -1 e 1). Esse valor não pode ser resposta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{3\sqrt{2}}{5}$ também não corresponde ao cosseno calculado. Não há relação com a relação fundamental aplicada ao seno dado.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a relação fundamental: $\cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$. Como o ângulo é agudo, $\cos \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Esse é exatamente o valor da alternativa.

Gabarito: letra E