Uma equipe com 2 trabalhadores e 4 auxiliares faz uma obra em 6 dias. Todos os trabalhadores da equipe têm mesma produtividade entre si, e todos os auxiliares da equipe têm mesma produtividade entre si, sendo que a produtividade de cada trabalhador é maior que a produtividade de cada auxiliar. Essa mesma obra pode ser feita em 4 dias se for realizada com uma equipe com mais 2 trabalhadores em relação a equipe que faz a obra em 6 dias. Na situação descrita, um trabalhador, sozinho, faria a obra inteira em
A27 dias.
B26 dias.
C25 dias.
D24 dias.
E23 dias.
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GabaritoD — 24 dias.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 24 dias — alternativa D.
A ideia por trás
Em problemas de tempo e trabalho, a produtividade é a quantidade de serviço que uma pessoa realiza por dia. O trabalho total é sempre o mesmo, então ele pode ser calculado como o produto da força de trabalho (soma das produtividades diárias) pela duração em dias. A unidade de trabalho é arbitrária, mas precisa ser consistente.
A relação central é: trabalho total = (produtividade total da equipe) × (tempo). Como o trabalho é o mesmo nas duas situações, podemos igualar os produtos. A produtividade total é a soma das produtividades individuais, e cada pessoa tem sua própria taxa. Quando uma variável (como a produtividade do trabalhador) não é conhecida, usamos a comparação entre as equipes para descobrir a relação entre elas.
Esta questão exige montar um sistema com as duas equipes para achar a relação entre a produtividade do trabalhador e a do auxiliar. Depois, usamos essa relação para converter a equipe em uma unidade comum e calcular o tempo de um trabalhador sozinho.
O que a questão dá
equipe 1: 2 trabalhadores e 4 auxiliares
tempo da equipe 1: 6 dias
equipe 2: 4 trabalhadores e 4 auxiliares (2 a mais que a equipe 1)
tempo da equipe 2: 4 dias
O que queremos: o tempo que um único trabalhador levaria para fazer a obra sozinho
Passo 1 — Definir as produtividades diárias
Precisamos de uma forma de medir o quanto cada pessoa produz por dia. Vamos chamar de T a produtividade de um trabalhador e de A a de um auxiliar. Essas são as incógnitas que vamos relacionar.
NÃO CAIA NESSA!
Confundir produtividade com tempo: produtividade é o que se faz por dia, não o tempo total.
Passo 2 — Montar a equação da primeira equipe
A primeira equipe tem 2 trabalhadores e 4 auxiliares, então a produtividade total é 2T + 4A. Como ela trabalha 6 dias, o trabalho total é 6 vezes isso. Essa expressão representa a obra inteira.
Por que esta fórmula: Trabalho total = produtividade total × tempo. Aqui, a produtividade total é a soma das produtividades individuais.
De onde vem cada valor: = enunciado: 6 dias · = enunciado: 2 trabalhadores · = enunciado: 4 auxiliares
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar a soma pela quantidade de dias.
Passo 3 — Montar a equação da segunda equipe
A segunda equipe tem 2 trabalhadores a mais, ou seja, 4 trabalhadores e 4 auxiliares. Ela faz a mesma obra em 4 dias, então o trabalho total também é 4 vezes a produtividade total dela. Igualar as duas expressões é o que permite achar a relação entre T e A.
Por que esta fórmula: Mesma lógica: trabalho total = produtividade total × tempo. Como a obra é a mesma, os dois produtos são iguais.
De onde vem cada valor: = enunciado: 4 dias · = enunciado: 4 trabalhadores (2 + 2) · = enunciado: 4 auxiliares
NÃO CAIA NESSA!
Usar 2T em vez de 4T na segunda equipe, esquecendo que são 2 trabalhadores a mais.
Passo 4 — Igualar os trabalhos e simplificar
Como a obra é a mesma, as duas expressões para W são iguais. Igualá-las e simplificar a equação vai revelar a relação entre T e A.
Por que esta fórmula: Igualdade de duas expressões que representam a mesma quantidade.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Errar a distributiva: 6·2T = 12T, não 6·2T = 12T? Sim, está certo, mas cuidado com sinais.
Passo 5 — Isolar a relação entre T e A
A equação do passo anterior tem duas incógnitas. Precisamos de uma relação entre elas para poder substituir depois. Vamos simplificar a equação passo a passo.
Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: distribuir, juntar termos semelhantes e isolar uma variável.
De onde vem cada valor: = passo 4: 6·2T · = passo 4: 6·4A · = passo 4: 4·4T · = passo 4: 4·4A
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar todos os termos pela constante.
Passo 6 — Concluir que T vale o dobro de A
Agora vamos isolar T. Subtraindo 12T e 16A dos dois lados, obtemos 8A = 4T, e dividindo por 4, T = 2A. Isso significa que um trabalhador produz o dobro de um auxiliar por dia.
Por que esta fórmula: Isolamento algébrico: subtrair termos para deixar T de um lado e A do outro.
De onde vem cada valor: = passo 5 · = passo 5: 8A = 4T → T = 2A
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a relação: A = 2T, o que daria tempo errado.
Passo 7 — Calcular o trabalho total em unidades de auxiliar
Com T = 2A, podemos expressar a produtividade da primeira equipe só em termos de A. Isso nos dá o trabalho total em uma unidade comum, que depois usaremos para o trabalhador sozinho.
Por que esta fórmula: Substituir T por 2A na expressão do trabalho total da primeira equipe.
De onde vem cada valor: = enunciado: 6 dias · = passo 6: T = 2A, e são 2 trabalhadores · = enunciado: 4 auxiliares
NÃO CAIA NESSA!
Usar a segunda equipe em vez da primeira, mas o resultado é o mesmo.
Passo 8 — Descobrir o tempo de um trabalhador sozinho
Um trabalhador sozinho tem produtividade T = 2A. O tempo que ele leva é o trabalho total dividido pela produtividade dele. Como o trabalho total é 48A, o tempo é 48A / 2A = 24 dias.
Por que esta fórmula: Tempo = trabalho total / produtividade. Aqui, a produtividade é T = 2A.
De onde vem cada valor: = passo 7: 48A · = passo 6: 2A
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir por 2A e usar 48A / A = 48, o que daria 48 dias.