Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Fatoração da diferença de quadrados

Gabarito: letra C. Aplicando a identidade $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ aos números $444433332222$ e $344433332222$, obtemos $(444433332222 + 344433332222) \times (444433332222 - 344433332222) = 788866664444 \times 100000000000 = 7,88866664444 \times 10^{22}$.

A fatoração da diferença de quadrados é um dos produtos notáveis mais úteis da álgebra. Ela nos permite transformar uma subtração de dois quadrados em um produto de dois fatores: a soma e a diferença das bases. A identidade é:

Essa transformação é valiosa porque, em muitos casos, calcular a soma e a diferença das bases é muito mais simples do que calcular os quadrados individualmente. No problema, os números são enormes, e elevá-los ao quadrado diretamente seria trabalhoso. A fatoração, porém, revela uma estrutura que simplifica drasticamente o cálculo.

Vamos aplicar a identidade aos números do enunciado. Seja $a = 444433332222$ e $b = 344433332222$. A expressão pedida é $a^2 - b^2$, que, pela identidade, é igual a $(a+b)(a-b)$. Calculando cada fator:

• Soma: $a + b = 444433332222 + 344433332222 = 788866664444$

• Diferença: $a - b = 444433332222 - 344433332222 = 100000000000$

O segundo fator é $100000000000 = 10^{11}$. O primeiro fator, $788866664444$, pode ser escrito em notação científica como $7,88866664444 \times 10^{11}$. Multiplicando os dois fatores:

O resultado é exatamente a alternativa C. A chave da questão está em reconhecer que a diferença dos números é uma potência de 10, o que torna o produto trivial após a fatoração.

A pegadinha que a banca explora é justamente a tentação de calcular os quadrados diretamente, o que seria inviável sem calculadora. A fatoração é a ferramenta que evita esse trabalho. Além disso, é preciso atenção à notação científica: o número $788866664444$ tem 12 algarismos, então sua representação em notação científica é $7,88866664444 \times 10^{11}$, e não $10^{12}$.

Guarde o padrão: sempre que a expressão tiver a forma "quadrado de um número menos quadrado de outro", a fatoração da diferença de quadrados é o caminho mais rápido. É exatamente esse raciocínio que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $33333333333^2$ como resultado. Esse número não tem relação com o produto obtido. A fatoração correta resulta em $7,88866664444 \times 10^{22}$, que é um número com 23 algarismos (o $7$ seguido de 22 casas decimais). O quadrado de $33333333333$ seria um número com 22 algarismos, mas não é o valor da expressão. A alternativa parece plausível porque $33333333333$ é um número com muitos algarismos repetidos, mas não corresponde a nenhum dos fatores da fatoração.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $3,33333333333 \times 10^{22}$. Esse valor é uma tentativa de aproximar o resultado, mas o coeficiente está errado. O coeficiente correto é $7,88866664444$, não $3,33333333333$. A banca provavelmente espera que o candidato erre na soma dos números, calculando $444433332222 + 344433332222$ de forma incorreta, ou que confunda a ordem dos fatores.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a fatoração da diferença de quadrados transforma a expressão em $(444433332222 + 344433332222) \times (444433332222 - 344433332222)$. A soma é $788866664444$ e a diferença é $100000000000$. O produto é $788866664444 \times 10^{11} = 7,88866664444 \times 10^{22}$. A alternativa reproduz exatamente esse valor em notação científica.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $3,33333333333 \times 10^{23}$. O expoente $10^{23}$ está errado, pois o resultado tem 23 algarismos, mas o expoente na notação científica deve ser 22 (o coeficiente $7,88866664444$ já contribui com um algarismo). Além disso, o coeficiente $3,33333333333$ também está incorreto, como visto na alternativa B. A banca combina dois erros: coeficiente errado e expoente errado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $9,99977775666 \times 10^{23}$. Esse valor não corresponde a nenhum cálculo derivado da fatoração. O coeficiente e o expoente estão ambos incorretos. A banca provavelmente espera que o candidato erre na subtração dos números, calculando $444433332222 - 344433332222$ de forma incorreta, ou que confunda a ordem das operações.

Gabarito: letra C — o resultado da expressão é $7,88866664444 \times 10^{22}$.