Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Geometria Analítica: Retas e Interseção

Gabarito: letra D — a abscissa do ponto em que a reta s corta o eixo x é $\frac{16}{3}$. A resolução usa a equação da reta s, determinada pelo ponto de interseção com a reta r (abscissa 2) e pelo ponto onde corta o eixo y (ordenada $\frac{24}{5}$), para então encontrar sua raiz.

A questão envolve dois conceitos centrais da geometria analítica: a equação da reta e a interseção com os eixos coordenados. Toda reta não vertical pode ser escrita na forma $y = ax + b$, onde $a$ é o coeficiente angular (a inclinação) e $b$ é o coeficiente linear (a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y). Quando uma reta corta o eixo x, o ponto tem ordenada $y = 0$; quando corta o eixo y, o ponto tem abscissa $x = 0$. Essas são as informações que vamos usar para montar a equação da reta s.

O primeiro passo é encontrar o ponto de interseção entre as retas r e s. Sabemos que a reta r tem equação $y = \frac{x}{2} + 2$ e que a interseção ocorre em $x = 2$. Substituindo na equação de r, obtemos a ordenada desse ponto:

Portanto, o ponto de interseção é $(2, 3)$. Esse ponto pertence à reta s.

O segundo dado é que a reta s corta o eixo y em um ponto cuja distância à origem é $\frac{24}{5}$. Como o ponto está sobre o eixo y, sua abscissa é 0, e a distância à origem é simplesmente o valor absoluto da ordenada. Assim, a ordenada do ponto é $\frac{24}{5}$ (considerando o ponto no primeiro quadrante, como sugere o esboço). Logo, a reta s passa pelo ponto $(0, \frac{24}{5})$.

Agora temos dois pontos da reta s: $(2, 3)$ e $(0, \frac{24}{5})$. Podemos calcular o coeficiente angular $a$:

Como a reta corta o eixo y em $\frac{24}{5}$, o coeficiente linear é $b = \frac{24}{5}$. Portanto, a equação da reta s é:

Para encontrar onde a reta s corta o eixo x, fazemos $y = 0$:

Portanto, a abscissa do ponto onde a reta s corta o eixo x é $\frac{16}{3}$.

A pegadinha desta questão está em dois pontos: primeiro, confundir a distância à origem com a ordenada do ponto, esquecendo que o ponto está sobre o eixo y (abscissa 0). Segundo, errar o sinal do coeficiente angular, pois a reta s é decrescente (coeficiente negativo), o que pode levar a um resultado com sinal trocado. Além disso, é comum o aluno tentar usar a equação da reta r para encontrar o ponto de interseção com o eixo x, o que não é o que se pede.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{11}{2}$ não corresponde a nenhum cálculo correto. Provavelmente, o aluno errou ao calcular o coeficiente angular ou ao resolver a equação final. Por exemplo, se o coeficiente angular fosse calculado como $\frac{3 - \frac{24}{5}}{2} = -\frac{9}{10}$ e depois, ao isolar x, o aluno invertesse a fração ou errasse a multiplicação, poderia chegar a um valor como $\frac{11}{2}$. Não há uma interpretação direta que leve a esse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{31}{6}$ também não é resultado de um cálculo correto. Pode surgir de um erro na soma ou subtração das frações ao calcular o coeficiente angular, ou de um erro na resolução da equação $0 = -\frac{9}{10}x + \frac{24}{5}$. Por exemplo, se o aluno somasse $\frac{24}{5}$ com $\frac{9}{10}$ em vez de igualar a zero, obteria um valor diferente. Não há uma justificativa conceitual para esse número.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{23}{4}$ não é o resultado correto. Pode surgir de um erro ao calcular o coeficiente angular, como por exemplo, usar a fórmula $a = \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$ (invertendo a ordem dos pontos) ou errar a subtração das frações. Se o aluno calculasse $a = \frac{3 - \frac{24}{5}}{0 - 2} = \frac{-\frac{9}{5}}{-2} = \frac{9}{10}$ (errando o sinal), a equação seria $y = \frac{9}{10}x + \frac{24}{5}$, e a raiz seria $x = -\frac{16}{3}$, que não está nas alternativas. Portanto, $\frac{23}{4}$ não corresponde a um erro comum e específico.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A abscissa do ponto onde a reta s corta o eixo x é $\frac{16}{3}$. Isso foi obtido corretamente: encontramos o ponto de interseção $(2, 3)$, o coeficiente angular $a = -\frac{9}{10}$ e o coeficiente linear $b = \frac{24}{5}$, montamos a equação $y = -\frac{9}{10}x + \frac{24}{5}$ e, fazendo $y = 0$, isolamos $x = \frac{16}{3}$. A alternativa está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{26}{5}$ não é o resultado correto. Pode surgir de um erro ao calcular o coeficiente angular, como por exemplo, usar $a = \frac{3 - \frac{24}{5}}{2} = -\frac{9}{10}$ e depois, ao resolver a equação, errar a multiplicação: $x = \frac{24}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{240}{45} = \frac{16}{3}$, mas se o aluno simplificasse incorretamente, poderia chegar a $\frac{26}{5}$. Não há uma justificativa conceitual para esse número.

Gabarito: letra D