Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Prisma reto de base triangular equilátera

Gabarito: letra C — a área total é $(12+2\sqrt{3})\,\text{cm}^2$. Como todas as arestas do prisma são iguais, a altura é igual ao lado da base; usando o volume dado, encontramos a aresta $a=2\,\text{cm}$ e, então, a área total é a soma das áreas das duas bases (triângulos equiláteros) com as três faces laterais (quadrados).

A ideia por trás

Um prisma reto é um sólido geométrico com duas bases congruentes e paralelas, e faces laterais que são retângulos (ou quadrados, quando a altura é igual à aresta da base). No caso de um prisma reto de base triangular equilátera, a base é um triângulo com todos os lados iguais, e as faces laterais são retângulos cuja altura é a altura do prisma.

A questão afirma que todas as arestas têm a mesma medida. Isso significa que o lado do triângulo da base é igual à altura do prisma. Vamos chamar essa medida de $a$.

O volume de um prisma é dado por:

onde $A_b$ é a área da base e $h$ é a altura. Para um triângulo equilátero de lado $a$, a área é:

Como $h = a$, temos:

O enunciado fornece $V = 2\sqrt{3}\,\text{cm}^3$. Igualando:

Dividindo ambos os lados por $\sqrt{3}$:

Agora, a área total do prisma é a soma da área lateral com o dobro da área da base. A área lateral é formada por três retângulos (as faces laterais), cada um com base $a$ e altura $a$ (pois são quadrados), então:

A área total é:

Substituindo $a = 2$:

Portanto, a área total é $(12+2\sqrt{3})\,\text{cm}^2$, que corresponde à alternativa C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$(11+\sqrt{3})\,\text{cm}^2$. Este valor não corresponde a nenhuma combinação correta das áreas das faces. O erro provável é o candidato ter usado uma fórmula incorreta para a área lateral ou da base, ou ter errado o cálculo da aresta. Por exemplo, se alguém calcular a área lateral como $2a^2$ em vez de $3a^2$, obteria $8 + 2\sqrt{3}$, que não é esta alternativa. O número 11 não tem relação direta com o problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$(10+4\sqrt{3})\,\text{cm}^2$. Este valor sugere que o candidato pode ter considerado a área lateral como $2a^2$ (ou seja, $8$) e a área das bases como $4\sqrt{3}$ (o que seria o dobro da área de uma base, mas com erro de cálculo). Na verdade, a área lateral correta é $3a^2 = 12$ e a área das duas bases é $2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. A soma correta é $12 + 2\sqrt{3}$, não $10 + 4\sqrt{3}$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$(12+2\sqrt{3})\,\text{cm}^2$. Como demonstrado, com a aresta $a=2\,\text{cm}$, a área lateral é $3 \cdot 2^2 = 12\,\text{cm}^2$ e a área das duas bases é $2 \cdot \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}\,\text{cm}^2$. Somando, obtemos exatamente $12 + 2\sqrt{3}\,\text{cm}^2$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$(9+3\sqrt{3})\,\text{cm}^2$. Este valor não corresponde ao cálculo correto. Se o candidato errasse a aresta (por exemplo, $a = \sqrt{3}$), poderia chegar a valores diferentes, mas não a este. O número 9 não é um quadrado perfeito relacionado à aresta 2, e $3\sqrt{3}$ não é a área correta das bases. A área total correta é $12 + 2\sqrt{3}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$(8+5\sqrt{3})\,\text{cm}^2$. Este valor sugere que o candidato pode ter considerado a área lateral como $2a^2 = 8$ (errando o número de faces laterais, que são 3, não 2) e a área das bases como $5\sqrt{3}$ (que não corresponde a nenhum cálculo correto). A área lateral correta é $3a^2 = 12$ e a área das bases é $2\sqrt{3}$.

Gabarito: letra C