Quatro amigos escreveram o número de seus apartamentos em ordem crescente e perceberam que o primeiro, o segundo e o terceiro números dessa sequência formavam uma progressão aritmética (PA) de razão 14. Eles perceberam também que o primeiro, o segundo e o quarto números dessa sequência formavam uma progressão geométrica (PG) de razão 3. O quarto número dessa sequência era
A63.
B65.
C61.
D59.
E57.
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GabaritoA — 63.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 63 — alternativa A.
A ideia por trás
Uma progressão aritmética (PA) é uma lista de números em que cada termo é o anterior somado a um valor fixo, a razão. Uma progressão geométrica (PG) é uma lista em que cada termo é o anterior multiplicado por um valor fixo, também chamado de razão. Aqui temos duas listas que compartilham termos: a PA usa os três primeiros números, e a PG usa o primeiro, o segundo e o quarto.
Na PA, o termo geral é a_n = a_1 + (n-1)·r, então a2 = a1 + 14 e a3 = a1 + 28. Na PG, o termo geral é a_n = a_1 · q^(n-1), então a2 = a1·3 e a4 = a1·9. Como o segundo termo é o mesmo nas duas progressões, podemos igualar as duas expressões para a2, o que nos dá uma equação para a1.
Esta questão cobra exatamente essa interseção: o termo comum às duas progressões é a chave para descobrir o primeiro termo, e a partir dele calculamos o quarto.
O que a questão dá
quatro números em ordem crescente: a1, a2, a3, a4
a1, a2, a3 formam PA de razão 14
a1, a2, a4 formam PG de razão 3
O que queremos: o quarto número da sequência
Passo 1 — Escrever os termos da PA em função do primeiro
A PA relaciona os três primeiros números. Como conhecemos a razão, podemos expressar o segundo e o terceiro termos a partir do primeiro, o que vai permitir comparar com a PG depois.
Por que esta fórmula: Numa PA, cada termo é o anterior mais a razão. Então a2 = a1 + 14 e a3 = a2 + 14 = a1 + 28.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro número · = enunciado: razão da PA
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a3 também é a1 + 28, não a1 + 14.
Passo 2 — Escrever os termos da PG em função do primeiro
A PG relaciona o primeiro, o segundo e o quarto termos. Com a razão 3, podemos expressar a2 e a4 em função de a1, para depois igualar com a PA.
Por que esta fórmula: Numa PG, cada termo é o anterior multiplicado pela razão. Então a2 = a1·3 e a4 = a2·3 = a1·9.
De onde vem cada valor: = enunciado: primeiro número · = enunciado: razão da PG
NÃO CAIA NESSA!
Usar a razão da PG como soma em vez de multiplicação.
Passo 3 — Igualar as duas expressões do segundo termo
O segundo número é o mesmo nas duas progressões, então as duas expressões que encontramos para a2 devem ser iguais. Essa igualdade é o que permite descobrir a1.
Por que esta fórmula: Como a2 é comum, temos a1 + 14 = 3a1. Isolando a1, subtraímos a1 dos dois lados e dividimos por 2.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 2
NÃO CAIA NESSA!
Errar a álgebra: subtrair a1 dos dois lados dá 14 = 2a1, e não 14 = 4a1.
Passo 4 — Calcular o quarto número usando a PG
Com o primeiro termo conhecido, podemos calcular o quarto termo diretamente pela PG, que é a progressão que o inclui.
Por que esta fórmula: Na PG, a4 = a1·9, pois a4 = a2·3 = (a1·3)·3 = a1·9.
De onde vem cada valor: = passo 2: a4 = a1·9 · = passo 3: 7
NÃO CAIA NESSA!
Usar a PA para a4: somar 14 ao a3, o que daria 49, mas a4 não faz parte da PA.