Matemática · VUNESP · 2026 | Questão sqc-vu167439

Trigonometria no triângulo retângulo

Gabarito: letra B — a resolução chega a $\tan \alpha = \frac{4}{3}$ . O caminho é: usar o seno de $\beta$ para descobrir a hipotenusa $BC$ do triângulo retângulo $BCD$ , aplicar Pitágoras para achar o cateto $BD$ , e então relacionar os triângulos $ABC$ e $BCD$ para encontrar a tangente de $\alpha$ .

A ideia por trás

A questão mistura dois triângulos retângulos encaixados. No triângulo $BCD$ , reto em $D$ , conhecemos o cateto $CD = 12$ e o seno do ângulo $\beta$ (que está em $B$ ). O seno de um ângulo agudo é sempre a razão entre o cateto oposto a ele e a hipotenusa. No triângulo $BCD$ , o ângulo $\beta$ está no vértice $B$ , então o cateto oposto a ele é $CD = 12$ , e a hipotenusa é $BC$ . Assim:

\sin \beta = \frac{CD}{BC} = \frac{12}{BC} = \frac{3}{5}

Multiplicando cruzado: $3 \cdot BC = 12 \cdot 5 = 60$ , logo $BC = 20$ cm.

Agora, com a hipotenusa $BC = 20$ e o cateto $CD = 12$ , aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo $BCD$ para achar o outro cateto $BD$ :

BC^2 = BD^2 + CD^2 \Rightarrow 20^2 = BD^2 + 12^2 \Rightarrow 400 = BD^2 + 144 \Rightarrow BD^2 = 256 \Rightarrow BD = 16

O enunciado diz que $BD = x - 9$ , então $x - 9 = 16 \Rightarrow x = 25$ . Portanto, a hipotenusa $AC$ do triângulo $ABC$ mede 25 cm.

No triângulo $ABC$ , reto em $B$ , o ângulo $\alpha$ está no vértice $A$ . O cateto oposto a $\alpha$ é $BC = 20$ , e o cateto adjacente é $AB$ . Para achar $AB$ , aplicamos Pitágoras novamente:

AC^2 = AB^2 + BC^2 \Rightarrow 25^2 = AB^2 + 20^2 \Rightarrow 625 = AB^2 + 400 \Rightarrow AB^2 = 225 \Rightarrow AB = 15

Finalmente, a tangente de $\alpha$ é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:

\tan \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}

A pegadinha

A banca não dá a figura, então o candidato pode se perder na localização dos ângulos. O ponto crucial é identificar qual lado é oposto a qual ângulo em cada triângulo. No triângulo $BCD$ , o ângulo $\beta$ está em $B$ , então o cateto oposto é $CD$ (que vale 12), e não $BD$ . Trocar esses catetos levaria a $\sin \beta = \frac{BD}{BC}$ , o que daria um resultado diferente e errado.

Outra armadilha comum é esquecer que $BD = x - 9$ e tentar usar $x$ diretamente como um lado do triângulo $BCD$ . O $x$ é a hipotenusa do triângulo $ABC$ , não um lado do triângulo $BCD$ .

Triângulos retângulos — só Triângulo ABC: 15; só Triângulo BCD: 16; Triângulo ABC∩Triângulo BCD: 20

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{5}{4}$ seria o valor de $\tan \alpha$ se tivéssemos trocado os catetos: $\frac{AB}{BC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ , e o inverso disso é $\frac{4}{3}$ . O valor $\frac{5}{4}$ não corresponde a nenhuma razão direta dos lados encontrados (15, 20, 25).

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $\tan \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ . É exatamente a razão entre o cateto oposto (20) e o cateto adjacente (15) ao ângulo $\alpha$ no triângulo $ABC$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{4}{5}$ é o valor de $\sin \alpha$ (cateto oposto 20 sobre hipotenusa 25), não da tangente. A banca troca a definição de seno pela de tangente.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{3}{4}$ é o valor de $\tan \alpha$ se invertermos os catetos: $\frac{AB}{BC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ . É a tangente do ângulo complementar a $\alpha$ no triângulo $ABC$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{2}{5}$ não corresponde a nenhuma razão direta entre os lados 15, 20 e 25. Poderia ser uma confusão com $\frac{CD}{BC} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ (que é o seno de $\beta$ ), mas com os números trocados.

Gabarito: letra B