GabaritoE — 160 cm2.
Gabarito: letra E — a conta chega a 160 cm² — alternativa E.
Um prisma reto de base retangular é um sólido com duas bases iguais em forma de retângulo e quatro faces laterais que também são retângulos, todos perpendiculares às bases. O volume de qualquer prisma é a área da base multiplicada pela altura, e cada face lateral tem área igual ao produto de uma aresta da base pela altura do prisma.
A fórmula do volume é V = A_b · h, onde A_b é a área da base (retângulo) e h é a altura. Se as arestas da base são x e x+3, então A_b = x(x+3). A área de cada face lateral é o produto de uma aresta da base pela altura: a face com aresta x tem área x·h, e a face com aresta x+3 tem área (x+3)·h. Como h é fixo, a maior face lateral é a que usa a maior aresta da base.
Esta questão pede para encontrar as dimensões da base a partir do volume e depois calcular a área da maior face lateral. O passo crítico é resolver a equação do segundo grau que surge ao substituir as arestas na fórmula do volume.
altura do prisma = 20 cm
uma aresta da base = outra + 3 cm
volume = 800 cm³
O que queremos: a área da maior face lateral do prisma
O volume é dado e a altura também, então a única incógnita é a área da base. Como a base é um retângulo com arestas x e x+3, podemos escrever a área da base em função de x e substituir na fórmula do volume para gerar uma equação.
Por que esta fórmula: A fórmula do volume de um prisma é V = A_b · h. Aqui A_b = x(x+3) e h = 20, então substituímos diretamente.
De onde vem cada valor: = enunciado: 800 cm³ · = definição: aresta menor da base (incógnita) · = enunciado: uma aresta mede 3 cm a mais que a outra · = enunciado: 20 cm
Esquecer de multiplicar pela altura e igualar a área da base a 800, o que daria x = 5 e x = -8, mas sem a altura a equação fica incompleta.
Para resolver a equação do segundo grau, precisamos primeiro dividir ambos os lados por 20, isolando o produto das arestas. Isso simplifica os números e facilita a fatoração.
Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 20 é uma operação algébrica válida que mantém a igualdade.
De onde vem cada valor: = passo 1: 800 cm³ · = enunciado: 20 cm
Não dividir e tentar resolver 20x²+60x-800=0, o que dá os mesmos resultados mas com números maiores e mais chance de erro.
Agora temos uma equação quadrática em x. Precisamos encontrar o valor positivo de x, pois representa uma medida de comprimento. Expandimos e resolvemos por fatoração ou pela fórmula de Bhaskara.
Por que esta fórmula: A equação x²+3x-40=0 é uma quadrática padrão. Fatoramos procurando dois números que somam 3 e multiplicam -40: são 8 e -5.
De onde vem cada valor: = passo 2: x(x+3) expandido · = passo 2: x(x+3) expandido · = passo 2: 40 movido para o lado esquerdo · = constante: fator da fatoração (8 + (-5) = 3 e 8 · (-5) = -40) · = constante: fator da fatoração (8 + (-5) = 3 e 8 · (-5) = -40)
x = 5 cm (descartando x = -8)
Esquecer de descartar a raiz negativa e considerar x = -8, o que não faz sentido para comprimento.
Com x = 5 cm, a outra aresta é x+3. Precisamos desse valor para calcular a área da maior face lateral.
Por que esta fórmula: A relação entre as arestas é dada no enunciado: uma é 3 cm maior que a outra.
De onde vem cada valor: = passo 3: 5 cm · = enunciado: uma aresta mede 3 cm a mais que a outra
Usar x = 5 como a maior aresta, invertendo os valores.
A maior face lateral é o retângulo formado pela maior aresta da base e a altura do prisma. Multiplicamos esses dois valores para obter a área.
Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base vezes altura. Aqui a base é a maior aresta da base (8 cm) e a altura é a altura do prisma (20 cm).
De onde vem cada valor: = passo 4: 8 cm · = enunciado: 20 cm
Calcular a área da base (5×8=40) ou da menor face lateral (5×20=100) e marcar uma alternativa errada.
Resposta: 160 cm² — alternativa E
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