Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

Volume do cilindro com bolas tangentes

Gabarito: letra D — o volume interno da embalagem é 162π cm³. O cilindro tem raio da base igual ao raio de cada bola (3 cm) e altura igual a três diâmetros (18 cm), pois as três bolas se tangenciam ao longo do eixo. Aplicando a fórmula do volume do cilindro reto, $V = \pi r^2 h$, obtemos $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 18 = 162\pi$ cm³.

O problema combina dois conceitos de geometria espacial: a esfera (as bolas de frescobol) e o cilindro circular reto (a embalagem). A chave está em traduzir as condições de tangência em medidas do cilindro. Cada bola tem 6 cm de diâmetro, logo raio $r = 3$ cm. Como as bolas são tangentes entre si e tangenciam a superfície lateral interna do cilindro, o raio da base do cilindro é exatamente o raio de uma bola: $R = 3$ cm. A altura do cilindro é a distância entre as bases internas, que corresponde à soma dos diâmetros das três bolas alinhadas: $h = 3 \times 6 = 18$ cm. As bolas das extremidades tangenciam as bases, confirmando que a altura total é ocupada pelas três esferas.

A fórmula do volume do cilindro reto é $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura. Substituindo os valores: $V = \pi \cdot (3)^2 \cdot 18 = \pi \cdot 9 \cdot 18 = 162\pi$ cm³. O resultado é exatamente a alternativa D.

A pegadinha clássica desta questão é confundir o diâmetro com o raio ao calcular a altura ou a base. Se o aluno usar o diâmetro (6 cm) como raio, o volume seria $\pi \cdot 6^2 \cdot 18 = 648\pi$ cm³ (alternativa A). Outro erro comum é calcular a altura como a soma dos raios (9 cm) em vez dos diâmetros, resultando em $\pi \cdot 3^2 \cdot 9 = 81\pi$ cm³ (alternativa C). A distinção entre diâmetro e raio é o critério decisivo que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $648\pi$ cm³ resulta de usar o diâmetro (6 cm) como raio da base: $V = \pi \cdot 6^2 \cdot 18 = 648\pi$. O raio correto é 3 cm, metade do diâmetro. A banca explora exatamente essa troca: quem lê "6 cm de diâmetro" e usa 6 como raio cai nesta alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $216\pi$ cm³ não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados. Se o aluno calculasse o volume de uma única bola ($V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$) e multiplicasse por 6 (em vez de 3), obteria $216\pi$. É um distrator que mistura o volume das esferas com um fator incorreto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $81\pi$ cm³ resulta de usar a altura como a soma dos raios (3 × 3 = 9 cm) em vez dos diâmetros: $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 9 = 81\pi$. A altura correta é 18 cm, pois cada bola contribui com seu diâmetro completo ao longo do eixo do cilindro.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O raio da base do cilindro é o raio de cada bola ($r = 3$ cm), pois as bolas tangenciam a superfície lateral interna. A altura é a soma dos três diâmetros ($h = 3 \times 6 = 18$ cm), pois as bolas se tangenciam ao longo do eixo e as extremidades tocam as bases. Aplicando $V = \pi r^2 h$: $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 18 = 162\pi$ cm³.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $108\pi$ cm³ poderia surgir de um cálculo com altura 12 cm (dois diâmetros) em vez de 18 cm: $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 12 = 108\pi$. A altura correta considera as três bolas, não apenas duas.

Gabarito: letra D