A figura representa um tipo de tesoura de telhado, isto é, uma estrutura triangular formada por vigas de madeira interligadas, utilizada para sustentar e distribuir o peso da cobertura de uma edificação. Nessa tesoura de telhado, há dois triângulos retângulos: ABC e ADE. Sabendo que as vigas AB, BC e AD medem, respectivamente, 17 m, 8 m e 8 m, o comprimento da viga DE é igual a:
A178m
B1764m
C1732m
D1715m
E1564m
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GabaritoB — \frac{64}{17} m
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Semelhança de triângulos na tesoura de telhado
Gabarito: letra B — o comprimento da viga DE é m. A resolução usa a semelhança entre os triângulos retângulos ABC e ADE: como compartilham o ângulo em A e ambos têm um ângulo reto, são semelhantes, e a razão entre lados correspondentes permite montar a proporção que leva ao resultado.
A semelhança de triângulos é uma das ferramentas mais poderosas da geometria plana. Dois triângulos são semelhantes quando possuem os mesmos três ângulos internos — e, nesse caso, seus lados correspondentes são proporcionais. No problema, os triângulos ABC e ADE são retângulos e compartilham o vértice A, ou seja, têm o mesmo ângulo em A. Como ambos têm um ângulo reto, o terceiro ângulo também é igual, e a semelhança está garantida pelo critério AA (ângulo-ângulo).
A consequência prática da semelhança é que podemos montar uma proporção entre os lados correspondentes. No triângulo ABC, a hipotenusa é AB = 17 m e o cateto BC = 8 m. No triângulo ADE, a hipotenusa é AD = 8 m e o cateto DE é o que queremos descobrir. Como os triângulos são semelhantes, a razão entre as hipotenusas é igual à razão entre os catetos correspondentes:
Substituindo os valores:
Multiplicando cruzado:
A pegadinha clássica dessa questão é inverter a proporção: colocar o lado do triângulo menor no numerador e o do maior no denominador, ou trocar os catetos correspondentes. É fundamental identificar corretamente quais lados se correspondem — a hipotenusa de um com a hipotenusa do outro, e o cateto de um com o cateto correspondente do outro.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a inversão da proporção. Se você montar ou trocar os lados correspondentes, chega a um valor errado como (alternativa E) ou (alternativa C). A chave é sempre identificar a hipotenusa e os catetos correspondentes em cada triângulo antes de montar a razão.
1Identificar triângulos semelhantes (AA)
2Montar proporção AD/AB = DE/BC
3Substituir: 8/17 = DE/8
4Multiplicar cruzado: DE = 64/17 m
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Alternativa A — ❌ Incorreta
m é a razão entre os lados AD e AB, ou seja, a razão de semelhança entre os triângulos. Mas a questão pede o comprimento de DE, não a razão. Para obter DE, é preciso multiplicar essa razão pelo cateto correspondente BC = 8 m, resultando em m.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Aplicando a semelhança entre os triângulos ABC e ADE, temos a proporção . Substituindo os valores: . Multiplicando cruzado, m. A alternativa está correta porque usa corretamente a razão entre os lados correspondentes.
Alternativa C — ❌ Incorreta
m seria o resultado se, na proporção, usássemos apenas metade do cateto BC (ou seja, 4 m em vez de 8 m). Não há nenhuma justificativa geométrica para isso — o cateto BC mede 8 m inteiros, e a proporção deve usar esse valor completo.
Alternativa D — ❌ Incorreta
m não corresponde a nenhuma razão direta entre os lados fornecidos. O número 15 não aparece nos dados do problema (17, 8 e 8), então essa alternativa é um distrator puro, sem relação com a semelhança.
Alternativa E — ❌ Incorreta
m é o resultado de uma proporção invertida: se você montar , obtém , o que daria m — não é esse o caso. O valor surge de uma inversão incorreta dos lados correspondentes, provavelmente confundindo a hipotenusa com o cateto.
