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Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2026

MatemáticaGeral
Código
vu167447
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFIMES
Ano
2026
Cargo
Vest ( )
Um holofote, situado no ponto L, localiza-se no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Esse holofote ilumina do ponto A ao ponto B, como mostra a figura.   Considerando que o ângulo AL^\hat{L}B mede 60º e as medidas dos segmentos AL e BL são, respectivamente, 15 m e 8 m, a distância do ponto A ao ponto B é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A13 m.
  2. B16 m.
  3. C17 m.
  4. D11 m.
  5. E7 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 13 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a AB = 13 m — alternativa A.

A ideia por trás

A Lei dos Cossenos é a ferramenta que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com um de seus ângulos. Ela generaliza o Teorema de Pitágoras: enquanto Pitágoras só vale para triângulos retângulos, a Lei dos Cossenos vale para qualquer triângulo, e o termo extra com o cosseno ajusta a conta quando o ângulo não é de 90°.

Num triângulo de lados a, b e c, com ângulo θ oposto ao lado c, vale c² = a² + b² − 2ab·cos θ. Se θ = 90°, cos θ = 0 e a fórmula vira Pitágoras. Se θ é agudo (menor que 90°), o cosseno é positivo e o termo −2ab·cos θ diminui o resultado; se θ é obtuso, o cosseno é negativo e o termo aumenta. É esse termo que 'corrige' a distância para triângulos não retângulos.

A questão dá dois lados do triângulo ALB (AL e BL) e o ângulo entre eles (60°), e pede o terceiro lado AB. Essa configuração lado-ângulo-lado é exatamente o caso de aplicação direta da Lei dos Cossenos.

O que a questão dá

  • AL = 15 m

  • BL = 8 m

  • ângulo A L B = 60°

O que queremos: a distância entre os pontos A e B

Passo 1 — Reconhecer a configuração lado-ângulo-lado

Temos dois lados que partem do mesmo vértice L e o ângulo entre eles. O lado que queremos, AB, é o que fecha o triângulo, oposto a esse ângulo. Essa é a situação clássica em que a Lei dos Cossenos resolve direto, sem precisar de construções auxiliares.

Por que esta fórmula: A Lei dos Cossenos é a única que relaciona os três lados com um ângulo interno. Como conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, ela nos dá o terceiro lado diretamente.

AB2=AL2+BL2−2⋅AL⋅BL⋅cos⁡(θ)AB^{2} = AL^{2} + BL^{2} - 2 \cdot AL \cdot BL \cdot \cos(\theta)

De onde vem cada valor: ALAL = enunciado: 15 m · BLBL = enunciado: 8 m · θ\theta = enunciado: 60°

AB2=152+82−2⋅15⋅8⋅cos⁡(60°)AB^{2} = 15^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot \cos(60°)
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar Pitágoras direto (15² + 8² = 289 → 17 m), esquecendo que o ângulo não é reto. Isso daria a alternativa C, que é a pegadinha.

Passo 2 — Calcular o cosseno de 60°

A fórmula exige o valor do cosseno do ângulo. 60° é um ângulo notável, cujo cosseno é conhecido de cor.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é um valor tabelado: cos 60° = 1/2. Vale memorizar os ângulos notáveis (30°, 45°, 60°) porque aparecem com frequência.

cos⁡(60°)=12\cos(60°) = \frac{1}{2}

De onde vem cada valor: 60°60° = enunciado: ângulo A L B = 60°

cos⁡(60°)=0,5=0,5\cos(60°) = 0{,}5 = \boxed{0{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar cos 60° = √3/2 (que é o seno de 60°) — isso daria um resultado diferente e errado.

Passo 3 — Substituir os valores na Lei dos Cossenos

Com o cosseno conhecido, agora é só substituir todos os números na fórmula e fazer as contas.

Por que esta fórmula: É a mesma fórmula do passo 1, agora com os valores numéricos no lugar das letras.

AB2=152+82−2⋅15⋅8⋅0,5AB^{2} = 15^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 8 \cdot 0{,}5

De onde vem cada valor: 1515 = enunciado: AL = 15 m · 88 = enunciado: BL = 8 m · 0,50{,}5 = passo 2: cos 60°

AB2=225+64−120AB^{2} = 225 + 64 - 120
AB2=169AB^{2} = \boxed{169}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a ordem das operações: primeiro as potências, depois a multiplicação, e só então a soma e a subtração.

Passo 4 — Extrair a raiz quadrada

A Lei dos Cossenos deu o quadrado da distância; a distância em si é a raiz quadrada desse valor.

Por que esta fórmula: Como AB é um comprimento, ele é positivo, então AB = √(AB²).

AB = √(AB^2)

De onde vem cada valor: AB2AB^{2} = passo 3: 169

AB=169=13 mAB = \sqrt{169} = \boxed{13\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a raiz quadrada de 169 é 13 e não 17 — 17² = 289, que é o resultado de Pitágoras sem o termo corretivo.

Resposta: AB = 13 m — alternativa A

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