Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — VUNESP 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 80 garrafas de refrigerante — alternativa B (entre 50 e 100)..

A ideia por trás

Uma razão é uma comparação entre duas quantidades por meio de uma divisão: a razão entre a e b é a/b, e ela diz quantas vezes uma quantidade cabe na outra. Aqui, a razão final entre cerveja e refrigerante é 4/5, ou seja, para cada 4 garrafas de cerveja há 5 de refrigerante no estoque depois da entrega.

Quando duas razões são iguais, temos uma proporção: a/b = c/d. Nela vale a propriedade fundamental: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja, a·d = b·c. Isso permite transformar a igualdade de frações em uma equação do 1º grau, que se resolve isolando a incógnita.

Esta questão pede para traduzir o enunciado em uma equação: chamando de x o número de refrigerantes recebidos, o de cervejas recebidas é 500 - x, e a razão final entre as quantidades totais é 4/5. A partir daí, aplicamos a propriedade fundamental para achar x.

O que a questão dá

• estoque inicial de refrigerante = 1820 garrafas (dado no texto: 'contava com 1 820 garrafas de refrigerante')

• estoque inicial de cerveja = 1100 garrafas (dado no texto: '1 100 garrafas de cerveja')

• total recebido = 500 garrafas

• razão final cerveja/refrigerante = 4/5

O que queremos: o número de garrafas de refrigerante recebidas na entrega

Passo 1 — Chamar de x o refrigerante recebido

Precisamos de uma incógnita para montar a equação. Como a pergunta é sobre o refrigerante recebido, chamamos essa quantidade de x. Como a entrega total foi de 500 garrafas, o restante, 500 - x, é o número de cervejas recebidas.

Passo 2 — Montar as quantidades finais no estoque

A razão dada é entre as quantidades DEPOIS da entrega. Então precisamos somar o que já havia com o que chegou: refrigerante final = 1820 + x, cerveja final = 1100 + (500 - x) = 1600 - x.

Passo 3 — Escrever a razão final como equação

A razão final entre cerveja e refrigerante é 4/5. Substituindo as expressões do passo anterior, montamos a igualdade de frações que vai virar a equação.

Por que esta fórmula: A razão é a divisão entre as duas quantidades: cerveja final dividida por refrigerante final. Igualamos isso a 4/5.

De onde vem cada valor: $1600 - x$ = passo 2: cerveja final · $1820 + x$ = passo 2: refrigerante final · $4/5$ = enunciado: razão final

Passo 4 — Aplicar a multiplicação cruzada

Com uma igualdade de frações, a propriedade fundamental das proporções permite eliminar os denominadores: multiplicamos o numerador de um lado pelo denominador do outro. Isso transforma a proporção em uma equação do 1º grau simples.

Por que esta fórmula: Na proporção a/b = c/d, vale a·d = b·c. Aqui, a = 1600 - x, b = 1820 + x, c = 4, d = 5.

De onde vem cada valor: $5$ = constante: denominador do lado direito · $1600 - x$ = passo 3: numerador do lado esquerdo · $4$ = constante: numerador do lado direito · $1820 + x$ = passo 3: denominador do lado esquerdo

Passo 5 — Resolver a equação do 1º grau

Agora é só álgebra: distribuir as multiplicações, juntar os termos com x de um lado e os números do outro, e isolar x. Cada operação mantém a igualdade verdadeira.

Por que esta fórmula: Equação do 1º grau: ax + b = 0. Isolamos x passando os termos.

De onde vem cada valor: $8000$ = passo 4: 5·1600 · $-5x$ = passo 4: 5·(-x) · $7280$ = passo 4: 4·1820 · $4x$ = passo 4: 4·x

Passo 6 — Isolar x e achar o valor

Com a equação simplificada, juntamos os termos com x e os números, e dividimos pelo coeficiente de x. O resultado é o número de refrigerantes recebidos.

Por que esta fórmula: Depois de juntar, temos 720 = 9x; dividindo ambos os lados por 9, obtemos x.

De onde vem cada valor: $720$ = passo 5: 8000 - 7280 · $9$ = passo 5: 4x + 5x

Resposta: 80 garrafas de refrigerante — alternativa B (entre 50 e 100).