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Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2024

MatemáticaCongruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança.
Código
vu206596
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Aparecida (SP)
Ano
2024
Cargo
Ana ( )
Sobre os lados de um triângulo ABC estão os pontos Q e R, de maneira que BCRQ é um trapézio de 112 cm2 de área, conforme mostra a figura. O lado BC do triângulo mede 20 cm, o lado RQ do trapézio mede 12 cm e a área do triângulo AQR éImagem associada para resolução da questão
  1. A60 cm2.
  2. B63 cm2.
  3. C66 cm2.
  4. D69 cm2.
  5. E72 cm2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 63 cm2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 63 cm² — alternativa B.

A ideia por trás

Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo corta os outros dois lados, ela forma um triângulo menor que é semelhante ao original. Isso é o Teorema Fundamental da Semelhança: os dois triângulos têm os mesmos ângulos e seus lados correspondentes são proporcionais. A razão de semelhança k é a fração que os lados do triângulo menor representam dos lados do maior.

A propriedade decisiva é que a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança: se os lados estão na razão k, as áreas estão na razão k². Isso acontece porque a área envolve o produto de duas dimensões (base e altura), e cada uma delas é multiplicada por k, então o produto fica multiplicado por k². Por isso, dobrar os lados quadruplica a área.

Esta questão cobra exatamente essa relação entre razão de lados e razão de áreas, mas de forma indireta: ela dá a área do trapézio (a diferença entre as áreas dos dois triângulos) e pede a área do triângulo menor. O caminho é usar a razão k para expressar a área do trapézio como uma fração da área total e então resolver.

O que a questão dá

  • área do trapézio BCRQ = 112 cm²

  • lado BC do triângulo = 20 cm

  • lado RQ do trapézio = 12 cm

O que queremos: a área do triângulo AQR

Passo 1 — Calcular a razão de semelhança entre os triângulos

Os triângulos AQR e ABC são semelhantes porque RQ é paralelo a BC. A razão de semelhança k é a fração que os lados correspondentes representam: o lado RQ do triângulo menor corresponde ao lado BC do maior. Precisamos desse k para relacionar as áreas.

Por que esta fórmula: A razão de semelhança é definida como a razão entre dois lados correspondentes. Como RQ e BC são lados correspondentes (ambos são bases dos triângulos), k = RQ/BC.

k=RQBCk = \frac{RQ}{BC}

De onde vem cada valor: RQRQ = enunciado: 12 cm · BCBC = enunciado: 20 cm

k=1220k = \frac{12}{20}
k=0,6k = \boxed{0{,}6}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, usando 20/12 = 5/3. A razão deve ser menor que 1 porque o triângulo AQR é menor que o ABC.

Passo 2 — Expressar a área do triângulo menor em função da área do maior

A área do trapézio é a diferença entre as áreas dos dois triângulos. Para usar essa informação, precisamos escrever a área do triângulo AQR como uma fração da área do triângulo ABC, usando a razão de semelhança.

Por que esta fórmula: Para triângulos semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança. Então a área do triângulo menor é k² vezes a área do maior.

AAQR=k2⋅AABCA_{AQR} = k^{2} \cdot A_{ABC}

De onde vem cada valor: kk = passo 1: 0,6 · AABCA_{ABC} = definição: área do triângulo maior, a ser determinada

AAQR=(0,6)2⋅AABCA_{AQR} = (0{,}6)^{2} \cdot A_{ABC}
AAQR=0,36⋅AABCA_{AQR} = \boxed{0{,}36 \cdot A_{ABC}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar k em vez de k², ou seja, A_{AQR} = 0,6·A_{ABC}. Isso daria uma área do trapézio diferente e levaria a um valor errado.

Passo 3 — Relacionar a área do trapézio com as áreas dos triângulos

O trapézio BCRQ é exatamente a parte do triângulo ABC que sobra quando se remove o triângulo AQR. Portanto, sua área é a diferença entre as áreas dos dois triângulos. Com a expressão do passo 2, podemos escrever essa diferença em função apenas da área do triângulo maior.

Por que esta fórmula: A área do trapézio é a área do triângulo maior menos a área do triângulo menor. Substituindo A_{AQR} pela expressão do passo 2, obtemos uma equação com uma única incógnita.

ABCRQ=AABC−AAQR=AABC−k2⋅AABC=(1−k2)⋅AABCA_{BCRQ} = A_{ABC} - A_{AQR} = A_{ABC} - k^{2} \cdot A_{ABC} = (1 - k^{2}) \cdot A_{ABC}

De onde vem cada valor: ABCRQA_{BCRQ} = enunciado: 112 cm² · kk = passo 1: 0,6

112=(1−0,36)⋅AABC112 = (1 - 0{,}36) \cdot A_{ABC}
112=0,64⋅AABC112 = \boxed{0{,}64 \cdot A_{ABC}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair k² de 1, usando apenas k²·A_{ABC} = 112. Isso confundiria a área do trapézio com a área do triângulo menor.

Passo 4 — Calcular a área do triângulo maior

A equação do passo 3 tem a área do triângulo ABC como incógnita. Isolando-a, obtemos a área total, que será usada para achar a área do triângulo menor.

Por que esta fórmula: Basta dividir ambos os lados da equação por 0,64 para isolar A_{ABC}.

AABC=1120,64A_{ABC} = \frac{112}{0{,}64}

De onde vem cada valor: 112112 = enunciado: área do trapézio · 0,640{,}64 = passo 3: 1 - k²

AABC=1120,64A_{ABC} = \frac{112}{0{,}64}
AABC=175 cm2A_{ABC} = \boxed{175\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão: 112/0,64 = 175, mas alguns podem calcular 112·0,64 = 71,68, invertendo a operação.

Passo 5 — Calcular a área do triângulo AQR

Agora que temos a área do triângulo maior, usamos a relação do passo 2 para obter a área do triângulo menor, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: Retomamos A_{AQR} = k²·A_{ABC}, substituindo A_{ABC} pelo valor encontrado.

AAQR=k2⋅AABCA_{AQR} = k^{2} \cdot A_{ABC}

De onde vem cada valor: kk = passo 1: 0,6 · AABCA_{ABC} = passo 4: 175 cm²

AAQR=0,36⋅175A_{AQR} = 0{,}36 \cdot 175
AAQR=63 cm2A_{AQR} = \boxed{63\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a área do trapézio diretamente como área do triângulo menor, ou esquecer de elevar k ao quadrado.

Resposta: 63 cm² — alternativa B

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