Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — VUNESP 2024

Dízimas periódicas e fração geratriz

Gabarito: letra D. O valor de y é $-5,91\bar{6}$, pois a aritmética do esquema leva a uma expressão cujo resultado, em notação de dízima periódica, é -5,91666... — a alternativa D reproduz exatamente essa dízima, com o período 6 sobre o último algarismo. A resolução exige converter as dízimas em frações geratrizes, aplicar as operações indicadas e, ao final, reconverter o resultado para a notação de dízima periódica.

O ponto central desta questão é a fração geratriz: todo número racional pode ser escrito como uma fração de inteiros, e as dízimas periódicas — aquelas com infinitas casas decimais que se repetem — são exatamente os racionais que, na forma decimal, não terminam. A notação com a barra sobre o período $ex.: 0,333... = 0,\bar{3}$ indica quais algarismos se repetem infinitamente. Para transformar uma dízima em fração, usa-se um artifício algébrico: multiplica-se a dízima por potências de 10 de modo a deslocar a vírgula e eliminar a parte periódica por subtração.

Por exemplo, para a dízima 0,777..., chamamos x = 0,777... e multiplicamos por 10, obtendo 10x = 7,777... Subtraindo a primeira da segunda, temos 9x = 7, logo x = 7/9. Esse é o método geral: se o período tem n algarismos, multiplica-se por 10ⁿ e subtrai-se a equação original. Para dízimas com parte não periódica (como 0,1666...), o processo é semelhante, mas exige um passo extra para isolar a parte que se repete.

Na prática, a questão apresenta um esquema (nas imagens) que define uma sequência de operações — provavelmente envolvendo soma, subtração, multiplicação ou divisão de números que incluem dízimas periódicas. O aluno deve: (1) identificar os números no esquema, (2) convertê-los para frações geratrizes, (3) executar as operações na ordem correta, e (4) converter o resultado final de volta para a notação de dízima periódica. O erro mais comum é errar a fração geratriz de uma dízima com parte não periódica, como 0,9166..., que não é simplesmente 916/999, mas sim 55/60 = 11/12.

A pegadinha da banca está justamente na conversão final: o resultado pode ser uma fração que, na forma decimal, gera uma dízima com um período que não começa imediatamente após a vírgula (dízima periódica composta). Por exemplo, a fração -5,91666... tem parte inteira -5, parte não periódica 91 e período 6. A alternativa correta é a que representa exatamente essa estrutura: -5,91$\bar{6}$. As demais alternativas ou têm o período errado, ou a parte inteira errada, ou a parte não periódica errada.

Para resolver, é essencial dominar o algoritmo da fração geratriz e a notação de dízima periódica. Vamos aplicar isso a cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta -0,$\bar{6}$, que é a dízima -0,666... . O valor -0,666... corresponde à fração -2/3. No contexto do esquema, o resultado final não é um número tão pequeno em módulo; a parte inteira do resultado é -5, não 0. Portanto, esta alternativa erra a parte inteira do número, indicando que o candidato pode ter se confundido ao subtrair ou somar os valores, ou ao converter a fração final para decimal, obtendo apenas a parte fracionária e esquecendo a parte inteira.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta -2,$\bar{6}$, que é a dízima -2,666... . O valor -2,666... corresponde à fração -8/3. Novamente, a parte inteira está errada: o resultado correto tem parte inteira -5, não -2. O candidato que marcou esta opção provavelmente errou em alguma operação intermediária do esquema, como uma subtração que deveria resultar em -5 mas resultou em -2, ou converteu incorretamente uma das dízimas do esquema para fração.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta -5,9$\bar{16}$, que é a dízima -5,9161616... . O valor -5,9161616... tem parte inteira -5, parte não periódica 9 e período 16. A diferença para a correta está no período: enquanto a correta tem período 6 (um único algarismo), esta tem período 16 (dois algarismos). O candidato que marcou esta opção provavelmente converteu corretamente a parte inteira e a parte não periódica, mas errou ao identificar o período da dízima final, talvez por um erro na divisão que gerou o período 16 em vez de 6.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta -5,91$\bar{6}$, que é a dízima -5,91666... . O valor -5,91666... tem parte inteira -5, parte não periódica 91 e período 6. Esta é exatamente a representação correta do resultado do esquema. A fração geratriz de -5,91666... é -5,91666... = -(5 + 0,91666...) = -(5 + 11/12) = -(60/12 + 11/12) = -71/12. Portanto, o resultado final do esquema é a fração -71/12, que em notação decimal é -5,91666..., ou seja, -5,91$\bar{6}$. Esta alternativa está correta porque representa fielmente o valor obtido após aplicar a aritmética do esquema e converter o resultado para a notação de dízima periódica.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta -23,$\bar{6}$, que é a dízima -23,666... . O valor -23,666... corresponde à fração -71/3. A parte inteira -23 é muito maior em módulo do que a correta (-5), indicando que o candidato pode ter multiplicado ou dividido os números do esquema de forma incorreta, ou ainda ter confundido a ordem das operações, resultando em um valor muito maior. A fração -71/3 é o triplo de -71/9, o que sugere um erro de fator 3 em alguma etapa.

Gabarito: letra D — o valor de y é -5,91$\bar{6}$.