Questão de Matemática — Produtos Notáveis — VUNESP 2024

Produtos notáveis: diferença de dois quadrados

Gabarito: letra B. A estratégia do aluno está correta e sempre funciona, pois se baseia na fatoração da diferença de dois quadrados: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$. No caso, $87^2 - 85^2 = (87-85)(87+85) = 2 \times 172 = 344$, exatamente como ele fez. A alternativa B é a única que nomeia corretamente o produto notável utilizado.

A questão testa o reconhecimento de um dos produtos notáveis mais importantes da álgebra: a diferença de dois quadrados. Esse produto notável afirma que, para quaisquer números reais $a$ e $b$, vale a identidade:

Essa identidade é uma fatoração — ou seja, transforma uma diferença de quadrados em um produto de dois fatores. Ela é válida para todos os números reais, sem qualquer restrição de paridade (não importa se os números são pares, ímpares, inteiros, racionais etc.). A demonstração é simples: basta aplicar a propriedade distributiva no produto $(a+b)(a-b)$:

No problema, o aluno aplicou essa identidade com $a = 87$ e $b = 85$:

A conta está correta e o método é geral — funciona para qualquer par de números. A professora, portanto, deve explicar que a estratégia sempre funciona e que a justificativa é exatamente a fatoração da diferença de dois quadrados.

A pegadinha da questão está em confundir os nomes dos produtos notáveis. Vejamos os principais:

A alternativa A tenta confundir o aluno ao falar em "fatoração do quadrado da diferença", que é o produto notável $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — algo completamente diferente do que foi usado. Já as alternativas C, D e E mencionam o Teorema Fundamental da Aritmética, que trata da decomposição de números inteiros em fatores primos, e não tem relação com a fatoração algébrica de expressões.

Guarde a distinção: diferença de dois quadrados ($a^2 - b^2$) é diferente de quadrado da diferença ($(a-b)^2$). É exatamente nessa troca de nomes que a banca arma a pegadinha.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a estratégia "pode ser explicada pela fatoração do quadrado da diferença de dois números". Isso está errado: o quadrado da diferença é o produto notável $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, que não tem relação com a conta feita. O que o aluno usou foi a diferença de dois quadrados, $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$. A banca troca os nomes dos produtos notáveis para induzir ao erro.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A estratégia do aluno está correta e sempre funciona, pois se baseia na identidade $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$, conhecida como fatoração da diferença de dois quadrados. Aplicando com $a=87$ e $b=85$: $87^2 - 85^2 = (87-85)(87+85) = 2 \times 172 = 344$. Essa identidade é válida para quaisquer números reais, sem restrição de paridade.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Menciona o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto em fatores primos de forma única. Esse teorema é da teoria dos números e não explica a fatoração algébrica de uma diferença de quadrados. A justificativa correta é o produto notável da diferença de dois quadrados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Erra em dois pontos: (1) diz que a estratégia "funciona apenas para a diferença entre quadrados de números ímpares", o que é falso — a identidade vale para quaisquer números; (2) atribui a explicação ao Teorema Fundamental da Aritmética, que não se aplica aqui. A conta funciona para qualquer par de números, pares ou ímpares.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Erra ao afirmar que a estratégia "funciona apenas para o quadrado da diferença entre números ímpares". Além de restringir indevidamente a validade (a identidade vale para todos os números), confunde o conceito: o que foi usado é a diferença de dois quadrados, não o quadrado da diferença. E novamente cita o Teorema Fundamental da Aritmética, que não é a explicação correta.

Gabarito: letra B