Questão de Matemática — Números Complexos — VUNESP 2024

Potências de i e o ciclo de repetição

Gabarito: letra B. A potência $i^n$ depende do resto da divisão de $n$ por 4: se o resto é 0, $i^n = 1$; se é 1, $i^n = i$; se é 2, $i^n = -1$; se é 3, $i^n = -i$. A alternativa B é a única que afirma corretamente que $i^n = 1$ quando o resto é 0.

A unidade imaginária $i$ é definida como $i = \sqrt{-1}$, ou seja, $i^2 = -1$. A partir dessa definição, podemos calcular as primeiras potências de $i$:

• $i^1 = i$

• $i^2 = -1$

• $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$

• $i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$

Observe que $i^4 = 1$. Isso significa que, a partir da quarta potência, os valores começam a se repetir em um ciclo de 4 elementos: $i, -1, -i, 1$. Por exemplo, $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$, $i^6 = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$, e assim por diante.

Essa periodicidade é a chave para calcular qualquer potência de $i$ com expoente natural. Para saber o valor de $i^n$, basta dividir $n$ por 4 e analisar o resto:

Por exemplo, para calcular $i^{27}$: dividimos 27 por 4, obtendo quociente 6 e resto 3. Como o resto é 3, $i^{27} = -i$. Para $i^{100}$: 100 dividido por 4 é exato (resto 0), logo $i^{100} = 1$.

A pegadinha desta questão está em inverter os valores associados a cada resto. A banca troca, por exemplo, o valor de $i^n$ quando o resto é 0 (que é 1) por $-1$, ou quando o resto é 2 (que é $-1$) por 1. É preciso memorizar o ciclo com precisão: resto 0 → 1, resto 1 → i, resto 2 → -1, resto 3 → -i.

Guarde essa tabela: é exatamente nela que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $i^n = -1$ quando o resto da divisão de $n$ por 4 é 0. Isso está errado: quando o resto é 0, $i^n = 1$. O valor $-1$ corresponde ao resto 2, não ao resto 0. A banca trocou o valor do resto 0 pelo valor do resto 2.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $i^n = 1$ quando o resto da divisão de $n$ por 4 é 0. Isso está correto, pois $i^4 = 1$, $i^8 = 1$, e assim por diante. Sempre que o expoente é múltiplo de 4, a potência é igual a 1.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $i^n = 1$ quando o resto da divisão de $n$ por 4 é 2. Isso está errado: quando o resto é 2, $i^n = -1$. O valor 1 corresponde ao resto 0, não ao resto 2. Novamente, a banca inverteu os valores.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $i^n = -i$ quando o resto da divisão de $n$ por 4 é 1. Isso está errado: quando o resto é 1, $i^n = i$. O valor $-i$ corresponde ao resto 3, não ao resto 1. A banca trocou o sinal do valor correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $i^n = i$ quando o resto da divisão de $n$ por 4 é 3. Isso está errado: quando o resto é 3, $i^n = -i$. O valor $i$ corresponde ao resto 1, não ao resto 3. A banca trocou o sinal do valor correto.

Gabarito: letra B