Questão de Matemática — Matrizes — VUNESP 2024

Matriz inversa: encontrando M a partir de M⁻¹

Gabarito: letra D. Se a inversa de M é a matriz dada, então M é a inversa dessa matriz — e a inversa de uma matriz 2×2 é calculada pela fórmula $M = \frac{1}{\det(M^{-1})} \cdot \text{adj}(M^{-1})$, o que resulta em $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$. A propriedade central é que $(M^{-1})^{-1} = M$, ou seja, a inversa da inversa é a matriz original.

O enunciado apresenta uma analogia entre o inverso de um número real e a inversa de uma matriz. No caso dos números reais, o inverso de $n$ é o número que, multiplicado por $n$, resulta em 1 (a identidade multiplicativa). Na álgebra matricial, a inversa de uma matriz quadrada $M$, denotada por $M^{-1}$, é a matriz que, multiplicada por $M$, resulta na matriz identidade $I$ (a identidade matricial). A condição para a existência da inversa é que o determinante de $M$ seja diferente de zero — se for zero, a matriz é dita singular e não possui inversa.

A questão fornece a inversa de $M$ e pede a própria $M$. A chave é a propriedade $(M^{-1})^{-1} = M$: a inversa da matriz inversa é a matriz original. Portanto, precisamos calcular a inversa da matriz dada. Para uma matriz 2×2 genérica $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, a inversa é dada por:

onde $\det(A) = ad - bc$. Aplicando isso à matriz fornecida $M^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$, temos $a=0$, $b=-1$, $c=2$, $d=1$. O determinante é $\det(M^{-1}) = 0 \cdot 1 - (-1) \cdot 2 = 0 + 2 = 2$. Como o determinante é diferente de zero, a inversa existe. Agora, montamos a matriz dos cofatores (trocando $a$ e $d$ de lugar e invertendo os sinais de $b$ e $c$): $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$. Multiplicando por $\frac{1}{2}$, obtemos:

Essa é exatamente a alternativa D. Uma forma de verificar é multiplicar $M$ pela matriz dada e confirmar que o resultado é a identidade $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

A pegadinha desta questão é dupla: primeiro, o candidato pode esquecer que precisa inverter a matriz fornecida, marcando a própria matriz dada (que não está entre as alternativas). Segundo, ao inverter, pode errar os sinais ou a posição dos elementos, caindo em uma das alternativas distratoras. A banca explora exatamente a confusão entre a matriz e sua inversa, e a aplicação incorreta da fórmula de inversão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta matriz é $\begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$. O erro aqui é duplo: o elemento $a_{11}$ deveria ser $\frac{1}{2}$ (não 0), e o elemento $a_{21}$ deveria ser $-1$ (não $-\frac{1}{2}$). Parece que o candidato confundiu a posição dos elementos ao aplicar a fórmula, ou tentou uma inversão por tentativa e erro sem sucesso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta matriz é $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$. O erro está no elemento $a_{21}$: deveria ser $-1$, mas aqui é $\frac{1}{2}$. Além disso, o elemento $a_{22}$ deveria ser 0, mas aqui é $\frac{1}{2}$. Essa alternativa parece resultar de uma inversão incorreta, onde o candidato pode ter dividido todos os elementos por 2 sem aplicar corretamente a troca de posições e sinais.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta matriz é $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}$. O erro está no elemento $a_{12}$: deveria ser $\frac{1}{2}$ (positivo), mas aqui é $-\frac{1}{2}$. O elemento $a_{21}$ também está errado: deveria ser $-1$, mas aqui é $-\frac{1}{2}$. Essa alternativa pode resultar de um erro de sinal ao inverter os elementos $b$ e $c$ da matriz original.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta matriz é $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$. Aplicando a fórmula da inversa à matriz fornecida $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$, com determinante 2, obtemos exatamente esta matriz. A verificação confirma: $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta matriz é $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}$. O erro está no elemento $a_{21}$: deveria ser $-1$, mas aqui é $-\frac{1}{2}$. Essa alternativa é muito próxima da correta, mas o elemento $a_{21}$ está com o valor errado — provavelmente o candidato dividiu todos os elementos por 2, incluindo o $-2$, em vez de apenas multiplicar a matriz dos cofatores por $\frac{1}{2}$.

Gabarito: letra D