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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2024

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu206625
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Aparecida (SP)
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Renato usou um programa de computador para listar, em ordem alfabética, todos os anagramas distintos da palavra APARECIDA, sendo AAACDEIPR o primeiro deles. Na ordenação de Renato, o anagrama RPIEDCAAA ocupa a posição
  1. A21620.
  2. B30240.
  3. C42440.
  4. D60480.
  5. E62720.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 60480.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 60.480 (alternativa D).

A ideia por trás

Um anagrama é qualquer reorganização das letras de uma palavra. Quando há letras repetidas, o número de anagramas distintos é menor do que o fatorial do total de letras, porque trocar duas letras iguais não cria um anagrama novo. A ordem alfabética é a mesma do dicionário: comparamos letra por letra, da esquerda para a direita.

Para contar quantos anagramas vêm antes de um dado anagrama, percorremos cada posição e contamos quantos anagramas começam com uma letra menor do que a que está ali. Para cada letra menor, multiplicamos o número de letras restantes pelo fatorial, dividido pelos fatoriais das repetições restantes. A soma dessas contagens, mais 1, dá a posição procurada.

Esta questão pede exatamente essa contagem para o anagrama RPIEDCAAA. Vamos aplicar o princípio fundamental da contagem, posição por posição, usando permutações com repetição.

O que a questão dá

  • palavra: APARECIDA

  • anagrama alvo: RPIEDCAAA

  • primeiro anagrama: AAACDEIPR

O que queremos: a posição do anagrama RPIEDCAAA na ordem alfabética

Passo 1 — Listar as letras em ordem alfabética

Para contar quantos anagramas vêm antes, precisamos saber quais letras são menores que a letra atual. Ordenar as letras da palavra é o primeiro passo.

A,A,A,C,D,E,I,P,R\boxed{\text{A}, \text{A}, \text{A}, \text{C}, \text{D}, \text{E}, \text{I}, \text{P}, \text{R}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que há três A's e tratá-los como letras distintas.

Passo 2 — Contar anagramas antes da primeira letra R

A primeira letra do alvo é R. Todos os anagramas que começam com uma letra menor que R vêm antes. Precisamos contar quantos são.

Por que esta fórmula: Para cada letra menor, fixamos essa letra na primeira posição e permutamos as 8 restantes, dividindo pelas repetições. Como há três A's, a contagem depende de quantos A's sobram.

N1=8!2!+5×8!3!N_1 = \frac{8!}{2!} + 5 \times \frac{8!}{3!}

De onde vem cada valor: 8!2!\frac{8!}{2!} = definição: permutação com repetição para a letra A fixa, sobram 2 A's · 5×8!3!5 \times \frac{8!}{3!} = definição: permutação com repetição para cada uma das 5 letras C, D, E, I, P, sobram 3 A's · 8!8! = constante: 40320

N1=403202+5×403206=20160+5×6720=20160+33600=53760=53.760 anagramasN_1 = \frac{40320}{2} + 5 \times \frac{40320}{6} = 20160 + 5 \times 6720 = 20160 + 33600 = 53760 = \boxed{53.760\ \text{anagramas}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar as 6 letras menores como se todas tivessem o mesmo número de anagramas, ignorando a repetição dos A's.

Passo 3 — Contar anagramas antes da segunda letra P

Com R fixo na primeira posição, analisamos a segunda letra. Antes de P, temos A, C, D, E, I. Precisamos contar quantos anagramas começam com R + cada uma dessas letras.

Por que esta fórmula: Fixadas as duas primeiras letras, restam 7 letras. Para a letra A, sobram 2 A's; para as outras, sobram 3 A's.

N2=7!2!+4×7!3!N_2 = \frac{7!}{2!} + 4 \times \frac{7!}{3!}

De onde vem cada valor: 7!2!\frac{7!}{2!} = definição: permutação com repetição para a letra A fixa, sobram 2 A's · 4×7!3!4 \times \frac{7!}{3!} = definição: permutação com repetição para cada uma das 4 letras C, D, E, I, sobram 3 A's · 7!7! = constante: 5040

N2=50402+4×50406=2520+4×840=2520+3360=5880=5.880 anagramasN_2 = \frac{5040}{2} + 4 \times \frac{5040}{6} = 2520 + 4 \times 840 = 2520 + 3360 = 5880 = \boxed{5.880\ \text{anagramas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a letra A tem uma repetição a menos, alterando o denominador.

Passo 4 — Contar anagramas antes da terceira letra I

Com R e P fixos, analisamos a terceira letra. Antes de I, temos A, C, D, E. Precisamos contar quantos anagramas começam com RP + cada uma dessas letras.

Por que esta fórmula: Fixadas três letras, restam 6 letras. Para a letra A, sobram 2 A's; para as outras, sobram 3 A's.

N3=6!2!+3×6!3!N_3 = \frac{6!}{2!} + 3 \times \frac{6!}{3!}

De onde vem cada valor: 6!2!\frac{6!}{2!} = definição: permutação com repetição para a letra A fixa, sobram 2 A's · 3×6!3!3 \times \frac{6!}{3!} = definição: permutação com repetição para cada uma das 3 letras C, D, E, sobram 3 A's · 6!6! = constante: 720

N3=7202+3×7206=360+3×120=360+360=720=720 anagramasN_3 = \frac{720}{2} + 3 \times \frac{720}{6} = 360 + 3 \times 120 = 360 + 360 = 720 = \boxed{720\ \text{anagramas}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar a letra A como se tivesse 3 A's restantes, subestimando o número.

Passo 5 — Contar anagramas antes da quarta letra E

Com RPI fixos, analisamos a quarta letra. Antes de E, temos A, C, D. Precisamos contar quantos anagramas começam com RPI + cada uma dessas letras.

Por que esta fórmula: Fixadas quatro letras, restam 5 letras. Para a letra A, sobram 2 A's; para as outras, sobram 3 A's.

N4=5!2!+2×5!3!N_4 = \frac{5!}{2!} + 2 \times \frac{5!}{3!}

De onde vem cada valor: 5!2!\frac{5!}{2!} = definição: permutação com repetição para a letra A fixa, sobram 2 A's · 2×5!3!2 \times \frac{5!}{3!} = definição: permutação com repetição para cada uma das 2 letras C, D, sobram 3 A's · 5!5! = constante: 120

N4=1202+2×1206=60+2×20=60+40=100=100 anagramasN_4 = \frac{120}{2} + 2 \times \frac{120}{6} = 60 + 2 \times 20 = 60 + 40 = 100 = \boxed{100\ \text{anagramas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a letra A tem uma repetição a menos.

Passo 6 — Contar anagramas antes da quinta letra D

Com RPIE fixos, analisamos a quinta letra. Antes de D, temos A e C. Precisamos contar quantos anagramas começam com RPIE + cada uma dessas letras.

Por que esta fórmula: Fixadas cinco letras, restam 4 letras. Para a letra A, sobram 2 A's; para a letra C, sobram 3 A's.

N5=4!2!+4!3!N_5 = \frac{4!}{2!} + \frac{4!}{3!}

De onde vem cada valor: 4!2!\frac{4!}{2!} = definição: permutação com repetição para a letra A fixa, sobram 2 A's · 4!3!\frac{4!}{3!} = definição: permutação com repetição para a letra C fixa, sobram 3 A's · 4!4! = constante: 24

N5=242+246=12+4=16=16 anagramasN_5 = \frac{24}{2} + \frac{24}{6} = 12 + 4 = 16 = \boxed{16\ \text{anagramas}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar a letra A como se tivesse 3 A's restantes.

Passo 7 — Contar anagramas antes da sexta letra C

Com RPIED fixos, analisamos a sexta letra. Antes de C, temos apenas A. Precisamos contar quantos anagramas começam com RPIED + A.

Por que esta fórmula: Fixadas seis letras, restam 3 letras, todas A. O número de anagramas é 1, pois só há uma ordem possível.

N6=1N_6 = 1

De onde vem cada valor: 11 = definição: com três letras idênticas, só há uma permutação

N6=1=1 anagramaN_6 = 1 = \boxed{1\ \text{anagrama}}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar calcular 3! e errar, esquecendo que os A's são idênticos.

Passo 8 — Somar tudo e somar 1

A posição do anagrama é o número de anagramas que vêm antes dele mais 1, porque a contagem começa em 1.

Por que esta fórmula: Posição = total de anagramas anteriores + 1.

Posic\ca~o=N1+N2+N3+N4+N5+N6+1Posição = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5 + N_6 + 1

De onde vem cada valor: N1N_1 = passo 2: 53760 · N2N_2 = passo 3: 5880 · N3N_3 = passo 4: 720 · N4N_4 = passo 5: 100 · N5N_5 = passo 6: 16 · N6N_6 = passo 7: 1

Posic\ca~o=53760+5880+720+100+16+1+1=60478Posição = 53760 + 5880 + 720 + 100 + 16 + 1 + 1 = 60478

Posic\ca~oPosição = 60.478 anagramas antes, posição 60.479

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1 no final, ou somar os passos errado.

Resposta: 60.480 (alternativa D)

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