Questão de Matemática — Desigualdade Triangular — VUNESP 2024
Matemática›Desigualdade Triangular
Código
vu206626
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Aparecida (SP)
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Sueli possui 5 varetas, de comprimentos 4 cm, 5 cm, 10 cm, 14 cm e 19 cm. Ela pretende sortear aleatoriamente três dessas varetas para tentar, com elas, formar um triângulo, sem quebrar nenhuma vareta e de tal forma que cada vareta inteira seja lado do triângulo. A probabilidade de que Sueli consiga formar o triângulo com as varetas sorteadas é igual a
A50%.
B40%.
C30%.
D25%.
E20%.
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GabaritoE — 20%.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 20% — alternativa E.
A ideia por trás
A probabilidade mede a chance de um evento acontecer: é a razão entre os casos que nos interessam e todos os casos possíveis, quando todos têm a mesma chance. Aqui, o evento é 'as três varetas sorteadas conseguem formar um triângulo', e os casos possíveis são todas as maneiras de escolher 3 varetas entre as 5.
Para três segmentos formarem um triângulo, cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois — é a desigualdade triangular. Na prática, basta conferir o maior lado: se ele for menor que a soma dos outros dois, o triângulo existe; se for igual ou maior, não. A ordem de escolha das varetas não importa, então contamos combinações, não arranjos.
Esta questão pede para contar quantas combinações de 3 varetas satisfazem a desigualdade triangular e dividir pelo total de combinações possíveis. O passo mais delicado é verificar cada combinação sem esquecer que a soma deve ser estritamente maior.
O que a questão dá
comprimentos das varetas: 4 cm, 5 cm, 10 cm, 14 cm, 19 cm
sorteio de 3 varetas entre as 5
O que queremos: a probabilidade de que as 3 varetas sorteadas formem um triângulo
Passo 1 — Contar todas as combinações possíveis
Precisamos do total de maneiras de sortear 3 varetas entre 5, porque a probabilidade é uma fração desse total. Como a ordem não importa (escolher 4, 5 e 10 é o mesmo que 10, 5 e 4), usamos combinação.
Por que esta fórmula: A combinação C_{5,3} conta quantos grupos de 3 elementos podemos formar a partir de 5, sem repetir e sem considerar a ordem. É a fórmula certa para o espaço amostral.
De onde vem cada valor: = enunciado: 5 varetas · = enunciado: sorteio de 3 varetas
NÃO CAIA NESSA!
Usar arranjo (5 × 4 × 3 = 60) em vez de combinação, contando ordens diferentes como casos distintos — isso inflaria o total.
Passo 2 — Listar as combinações e testar a condição
Agora que sabemos que há 10 possibilidades, precisamos ver quais delas realmente formam triângulo. A condição é que o maior lado seja menor que a soma dos outros dois; se for igual ou maior, não forma.
Por que esta fórmula: Não há fórmula única; é uma verificação lógica. Para cada trio, identificamos o maior lado e comparamos com a soma dos outros dois.
combinações válidas: (5, 10, 14) e (10, 14, 19)
NÃO CAIA NESSA!
Considerar (4, 10, 14) como válida, pois 14 = 4 + 10, mas a condição exige que o maior seja MENOR que a soma, não igual.
Passo 3 — Calcular a probabilidade
Com o número de casos favoráveis (2) e o total (10), a probabilidade é a razão entre eles. Isso responde diretamente à pergunta.
Por que esta fórmula: Probabilidade = casos favoráveis / casos possíveis, quando todos os casos são igualmente prováveis. Aqui, cada combinação de 3 varetas tem a mesma chance de ser sorteada.
De onde vem cada valor: = passo 2: 2 combinações · = passo 1: 10 combinações
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar por 100 e responder 0,2 em vez de 20%.