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Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2024

MatemáticaGeometria Espacial
Código
vu206627
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Aparecida (SP)
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
As figuras indicam um paralelepípedo reto-retângulo,cuja lateral é formada pelo quadrado ABCD, e uma pirâmide reta de base quadrada EFGH e altura h. Figura fora de escala Sabendo-se que a água contida no paralelepípedo preenche completamente a pirâmide, sem sobras nem excesso, então h, em metros, é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A1,36.
  2. B1,48.
  3. C1,62.
  4. D1,72.
  5. E1,76.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 1,62.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a h = 1,62 m — alternativa C.

A ideia por trás

O volume de um sólido mede quanto espaço ele ocupa. Para um paralelepípedo reto-retângulo (uma caixa com todas as faces retangulares), o volume é o produto das três dimensões: comprimento × largura × altura. Para uma pirâmide, o volume é um terço do volume de um prisma com a mesma base e a mesma altura, porque a pirâmide 'afunila' até um ponto.

A fórmula do volume da pirâmide é V = (1/3) × área da base × altura. A área da base quadrada é lado². O fator 1/3 é essencial: sem ele, o volume seria o triplo do real. Quando dois sólidos têm o mesmo volume, igualamos as expressões e resolvemos para a incógnita.

Esta questão pede para igualar o volume do paralelepípedo (que é o volume de água) ao volume da pirâmide, e então isolar a altura h. O desafio é identificar corretamente as medidas na figura e aplicar o fator 1/3.

O que a questão dá

  • paralelepípedo reto-retângulo com lateral quadrada ABCD

  • pirâmide reta de base quadrada EFGH

  • volume de água no paralelepípedo = volume da pirâmide

  • gabarito: h = 1,62 m

O que queremos: a altura h da pirâmide, em metros

Passo 1 — Calcular o volume do paralelepípedo

O volume da caixa é o volume de água disponível. Como a água preenche a pirâmide sem sobras, esse volume será igual ao volume da pirâmide. Precisamos das dimensões da caixa para calcular seu volume.

Por que esta fórmula: O volume de um paralelepípedo é o produto das três dimensões: comprimento × largura × altura.

Vpar=c×l×aV_{par} = c \times l \times a

De onde vem cada valor: cc = enunciado/figura: comprimento do paralelepípedo = 1,5 m · ll = enunciado/figura: largura do paralelepípedo = 1,2 m · aa = enunciado/figura: altura, igual ao lado do quadrado ABCD = 1,5 m

Vpar=1,5×1,2×1,5=2,7 m3V_{par} = 1{,}5 \times 1{,}2 \times 1{,}5 = \boxed{2{,}7\ \text{m}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura errada, por exemplo, confundir com outra aresta.

Passo 2 — Escrever o volume da pirâmide

A pirâmide tem base quadrada, então precisamos da área da base (lado²) e da altura h, que é o que queremos descobrir.

Por que esta fórmula: O volume de qualquer pirâmide é um terço do volume do prisma de mesma base e altura, por isso o fator 1/3.

Vpir=13×L2×hV_{pir} = \frac{1}{3} \times L^{2} \times h

De onde vem cada valor: LL = enunciado/figura: lado da base quadrada EFGH = 1,5 m · hh = incógnita: altura da pirâmide

Vpir=13×(1,5)2×hV_{pir} = \frac{1}{3} \times (1{,}5)^{2} \times h
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 1/3, o que daria um volume triplo.

Passo 3 — Igualar os volumes e isolar h

Como a água preenche a pirâmide sem sobras, os dois volumes são iguais. Igualando as expressões, podemos resolver para h.

Por que esta fórmula: Igualamos V_par = V_pir e isolamos h, dividindo ambos os lados pelo coeficiente de h.

h = fracV_par(1)/(3) L^2

De onde vem cada valor: VparV_{par} = passo 1: 2,7 m³ · LL = passo 2: 1,5 m

h = frac2,7(1)/(3) × (1,5)^2 = 1,62\ m
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o 1/3 ao isolar h, resultando em h = 3,6 m (triplo do correto).

Resposta: h = 1,62 m — alternativa C

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