Questão de Matemática — Inequações de Segundo Grau — VUNESP 2024

Inequações de segundo grau: interseção de soluções

Gabarito: letra C. Resolvendo as duas desigualdades separadamente e fazendo a interseção dos conjuntos solução, obtemos $x < -1$ (da primeira) e $-2 \leq x \leq 0$ (da segunda). A interseção é o intervalo $-2 \leq x < -1$, exatamente o que a alternativa C descreve.

O que a questão pede

O enunciado apresenta um sistema de duas desigualdades que devem ser satisfeitas simultaneamente pelo mesmo número real $x$. A primeira, $-x + 1 > 2$, é uma inequação do 1º grau. A segunda, $x^2 + 2x \leq 0$, é uma inequação do 2º grau. O conjunto pedido é a interseção dos conjuntos solução de cada uma.

Resolvendo a primeira desigualdade

$-x + 1 > 2$

Subtraindo 1 de ambos os lados: $-x > 1$

Multiplicando por $-1$ (invertendo o sinal da desigualdade): $x < -1$

Portanto, a primeira condição é $x < -1$.

Resolvendo a segunda desigualdade

$x^2 + 2x \leq 0$

Fatorando: $x(x + 2) \leq 0$

As raízes da equação $x(x + 2) = 0$ são $x = 0$ e $x = -2$. Como a parábola $y = x^2 + 2x$ tem concavidade para cima (coeficiente $a = 1 > 0$), a função é negativa ou nula entre as raízes. Portanto, a solução é $-2 \leq x \leq 0$.

Interseção das soluções

Agora, precisamos dos valores de $x$ que satisfazem ambas as condições:

• $x < -1$

• $-2 \leq x \leq 0$

A interseção é o intervalo $-2 \leq x < -1$.

A pegadinha

A banca explora a confusão entre os extremos do intervalo. O candidato pode esquecer de inverter o sinal da desigualdade ao multiplicar por $-1$ na primeira inequação, obtendo $x > -1$ em vez de $x < -1$. Isso levaria à alternativa D, que é o intervalo $-2 \leq x < 0$, um distrator clássico.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o conjunto é $\{x \in \mathbb{R} : x < -1\}$. Isso corresponde apenas à solução da primeira desigualdade, ignorando completamente a segunda. O conjunto correto é a interseção, não a solução isolada de uma das condições.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o conjunto é $\{x \in \mathbb{R} : x \geq -2\}$. Isso inclui valores como $x = 0$, que não satisfazem a primeira desigualdade ($0 < -1$ é falso). A alternativa ignora a restrição $x < -1$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o conjunto é $\{x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < -1\}$. Esta é exatamente a interseção das soluções: $x$ deve ser maior ou igual a $-2$ (da segunda desigualdade) e menor que $-1$ (da primeira). Todos os números nesse intervalo satisfazem ambas as condições, e nenhum número fora dele satisfaz.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o conjunto é $\{x \in \mathbb{R} : -2 \leq x < 0\}$. Este intervalo inclui valores como $x = -0,5$, que não satisfazem a primeira desigualdade ($-0,5 < -1$ é falso). A alternativa estende o intervalo até $0$, ignorando a restrição $x < -1$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o conjunto é $\{x \in \mathbb{R} : 1 < x \leq 2\}$. Este intervalo contém apenas números positivos, que não satisfazem nenhuma das duas desigualdades. Por exemplo, $x = 1,5$: na primeira, $-1,5 + 1 = -0,5 > 2$ é falso; na segunda, $1,5^2 + 2 \cdot 1,5 = 5,25 \leq 0$ é falso.

Gabarito: letra C