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Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2024

MatemáticaCálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo
Código
vu206630
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Aparecida (SP)
Ano
2024
Cargo
Prof ( )
Dizemos que a inclinação de uma rampa retilínea é a porcentagem que a vertical corresponde da horizontal na situação em que a hipotenusa representa a rampa. Observe o esquema de uma determinada rampa: A porcentagem de inclinação dessa rampa é de, aproximadamente,Imagem associada para resolução da questão
  1. A50%.
  2. B57,7%.
  3. C60%.
  4. D73,2%.
  5. E86,6%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 57,7%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 57,7% — alternativa B.

A ideia por trás

A inclinação de uma rampa é uma medida de quão íngreme ela é: diz quantos metros ela sobe para cada 100 metros horizontais. Se uma rampa tem inclinação de 10%, significa que a cada 100 m na horizontal ela sobe 10 m. Essa medida é muito usada em engenharia e sinalização de trânsito.

No triângulo retângulo formado pela rampa, a altura é o cateto oposto ao ângulo de inclinação e a base é o cateto adjacente. A razão entre eles é a tangente do ângulo: tan(θ) = altura / base. Multiplicando essa razão por 100, obtemos a porcentagem de inclinação. A tangente cresce com o ângulo: quanto mais íngreme a rampa, maior a porcentagem.

Esta questão fornece o ângulo de inclinação (30°) e pede a porcentagem. Basta calcular a tangente de 30° e multiplicar por 100.

O que a questão dá

  • definição: inclinação = (altura / base) × 100

  • ângulo de inclinação da rampa = 30° (indicado na figura)

O que queremos: a porcentagem de inclinação da rampa

Passo 1 — Reconhecer que a inclinação é a tangente

A definição de inclinação dada no enunciado é a razão entre a altura (cateto oposto) e a base (cateto adjacente). Essa razão é exatamente a tangente do ângulo de inclinação. Por isso, precisamos usar a tangente, e não o seno ou cosseno.

Por que esta fórmula: A tangente é definida como cateto oposto sobre cateto adjacente, que é precisamente a razão que o enunciado usa para definir inclinação.

tan⁡(θ)=alturabase\tan(\theta) = \frac{\text{altura}}{\text{base}}

De onde vem cada valor: θ\theta = enunciado: ângulo de inclinação = 30° (indicado na figura)

NÃO CAIA NESSA!

Usar seno ou cosseno, que envolvem a hipotenusa, mas a definição de inclinação usa apenas os catetos.

Passo 2 — Calcular a tangente de 30°

Com o ângulo identificado, precisamos do valor numérico da tangente para converter em porcentagem. A tangente de 30° é um valor conhecido que vale 1/√3.

Por que esta fórmula: A tangente de 30° é um valor tabelado: tan(30°) = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,577.

tan⁡(30°)=13≈0,577\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577

De onde vem cada valor: 30°30° = constante trigonométrica: tan(30°) = 1/√3

tan⁡(30°)=13≈0,577=0,577\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577 = \boxed{0{,}577}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com sen(30°) = 0,5 ou cos(30°) ≈ 0,866.

Passo 3 — Converter a tangente em porcentagem

A inclinação é pedida em porcentagem, então precisamos multiplicar a razão por 100. Isso transforma o número decimal em uma porcentagem.

Por que esta fórmula: Porcentagem é uma razão multiplicada por 100: inclinação(%) = tan(θ) × 100.

inclinac\ca~o(%)=tan⁡(θ)×100inclinação(\%) = \tan(\theta) \times 100

De onde vem cada valor: tan⁡(θ)\tan(\theta) = passo 2: 0,577

inclinac\ca~o=0,577×100=57,7 %inclinação = 0{,}577 \times 100 = \boxed{57{,}7\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 100 e responder 0,577%.

Resposta: 57,7% — alternativa B

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