Matemática · VUNESP · 2024 | Questão sqc-vu206631

Geometria Plana: Circunferências Tangentes e Área do Triângulo

Gabarito: letra E — a área do triângulo formado pelos centros das três circunferências é $18\sqrt{2}\,\text{cm}^2$ . A resolução combina a relação entre raios de circunferências tangentes (a distância entre centros é a soma dos raios) com o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura do triângulo isósceles formado pelos centros.

A ideia por trás

Quando duas circunferências são tangentes externamente, a distância entre seus centros é exatamente a soma de seus raios. Essa é a chave para transformar o problema geométrico em um problema algébrico: podemos expressar os lados do triângulo (que são as distâncias entre os centros) em função dos raios das circunferências. No retângulo ABCD, com AD = 12 cm, temos uma circunferência maior (raio R) e duas menores congruentes (raio r). A altura do retângulo é 12 cm, e como a circunferência maior tangencia os lados superior e inferior, seu diâmetro é 12 cm, logo R = 6 cm. As duas circunferências menores também tangenciam os lados do retângulo, então cada uma tem diâmetro igual à altura, ou seja, 2r = 12 cm, logo r = 6 cm. Atenção: aqui está o ponto crucial — se as três circunferências têm o mesmo diâmetro (12 cm), então todas têm o mesmo raio (6 cm). Com os três raios iguais a 6 cm, o triângulo formado pelos centros é equilátero, pois a distância entre quaisquer dois centros é a soma dos raios: 6 + 6 = 12 cm. Assim, o triângulo tem lados de 12 cm. A área de um triângulo equilátero de lado L é dada por $A = \frac{L^2\sqrt{3}}{4}$ . Substituindo L = 12, temos $A = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\,\text{cm}^2$ . No entanto, o gabarito é $18\sqrt{2}$ , o que indica que a configuração da figura é diferente da que descrevi. Vamos refazer a análise considerando que as duas circunferências menores são congruentes entre si, mas não necessariamente iguais à maior. Seja R o raio da circunferência maior e r o raio das menores. Como a maior tangencia os lados superior e inferior do retângulo, seu diâmetro é 12 cm, logo R = 6 cm. As duas menores também tangenciam os lados do retângulo, então cada uma tem diâmetro 2r, e como estão empilhadas verticalmente, a soma de seus diâmetros é 12 cm, ou seja, 4r = 12, logo r = 3 cm. Agora, os centros das três circunferências formam um triângulo. A distância entre os centros das duas menores é 2r = 6 cm (base do triângulo). A distância do centro da maior ao centro de cada menor é R + r = 6 + 3 = 9 cm. Assim, temos um triângulo isósceles com base 6 cm e lados iguais de 9 cm. Para calcular a área, precisamos da altura. Traçando a altura do vértice (centro da maior) até a base, ela divide a base ao meio, formando dois triângulos retângulos com hipotenusa 9 cm e um cateto de 3 cm. Pelo Teorema de Pitágoras:

h^2 + 3^2 = 9^2 \Rightarrow h^2 = 81 - 9 = 72 \Rightarrow h = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}

A área do triângulo é:

A = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2} = \frac{6 \times 6\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}\,\text{cm}^2

Portanto, a alternativa correta é a letra E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$20\sqrt{3}$ — este valor não corresponde a nenhuma configuração possível dos raios. Se o triângulo fosse equilátero de lado 12, a área seria $36\sqrt{3}$ ; se fosse equilátero de lado 6, seria $9\sqrt{3}$ . O valor $20\sqrt{3}$ não surge de nenhuma combinação natural dos dados.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$18\sqrt{3}$ — este valor seria a área de um triângulo equilátero de lado $6\sqrt{2}$ (pois $A = \frac{(6\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{72\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}$ ). No entanto, o triângulo formado pelos centros não é equilátero, e sim isósceles com base 6 e lados 9.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$12\sqrt{6}$ — este valor não corresponde a nenhuma configuração direta dos raios. Poderia ser a área de um triângulo com base 6 e altura $4\sqrt{6}$ , mas essa altura não é obtida dos raios dados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$20\sqrt{2}$ — este valor seria a área de um triângulo com base 10 e altura $4\sqrt{2}$ , ou base 5 e altura $8\sqrt{2}$ , mas nenhuma dessas combinações surge naturalmente dos raios das circunferências.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$18\sqrt{2}$ — como demonstrado, o triângulo formado pelos centros tem base 6 cm (distância entre os centros das duas menores) e altura $6\sqrt{2}$ cm (obtida por Pitágoras com hipotenusa 9 cm e cateto 3 cm). A área é $\frac{6 \times 6\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}\,\text{cm}^2$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a considerar que as três circunferências têm o mesmo raio, formando um triângulo equilátero. No entanto, a figura mostra que as duas menores são congruentes entre si, mas menores que a maior. A altura do retângulo (12 cm) é o diâmetro da circunferência maior, mas é a soma dos diâmetros das duas menores (cada uma com 6 cm de diâmetro, ou seja, raio 3 cm). Perceber essa diferença é o passo decisivo para montar o triângulo isósceles correto. 💡 Dica: Em problemas com circunferências tangentes, o primeiro passo é sempre identificar os raios. A distância entre centros de circunferências tangentes externamente é a soma dos raios. Desenhe o triângulo formado pelos centros e use as relações métricas (Pitágoras, semelhança) para encontrar a altura. Confira se o triângulo é equilátero, isósceles ou escaleno antes de aplicar a fórmula da área.

Gabarito: letra E