Questão de Matemática — Expressões Algébricas — VUNESP 2024

Soma dos elementos de uma linha da tabela

Gabarito: letra B. A manipulação algébrica mostra que a soma dos quatro elementos de uma linha é igual a $4(4n+1)+2$, que é um número da forma $4k+2$ (com $k=4n+1$). Na tabela, os números da forma $4k+2$ ocupam exatamente a 3ª coluna (da esquerda para a direita), pois cada coluna é formada por números que deixam o mesmo resto na divisão por 4: a 1ª coluna tem resto 0, a 2ª tem resto 1, a 3ª tem resto 2 e a 4ª tem resto 3.

A tabela apresentada é uma forma de organizar os números naturais em colunas segundo o resto da divisão por 4. Cada linha é composta por quatro números consecutivos: $4n$, $4n+1$, $4n+2$ e $4n+3$. Por exemplo, na linha em que $n=2$, temos $8, 9, 10, 11$. A soma desses quatro números é $8+9+10+11 = 38$. Observe que $38 = 4 \times 9 + 2$, ou seja, é um número que, dividido por 4, deixa resto 2. Na tabela, os números com resto 2 na divisão por 4 são exatamente os da terceira coluna: $2, 6, 10, 14, 18, 22, \dots$.

A manipulação algébrica proposta pelos autores é uma forma de provar essa propriedade sem precisar testar caso a caso. Vamos refazer o cálculo com atenção:

Agora, fatoramos o 4: $16n + 6 = 4(4n) + 6 = 4(4n+1) + 2$. Essa última expressão mostra que a soma é sempre da forma $4 \times (\text{um inteiro}) + 2$, ou seja, deixa resto 2 quando dividida por 4. Na tabela, a coluna que contém os números com resto 2 é a terceira. Por isso, a soma dos elementos de qualquer linha sempre cai na 3ª coluna.

Essa questão explora a relação entre expressões algébricas e padrões numéricos em tabelas. O ponto central é perceber que a coluna de um número na tabela é determinada pelo seu resto na divisão por 4. A 1ª coluna tem números $4n$ (resto 0), a 2ª tem $4n+1$ (resto 1), a 3ª tem $4n+2$ (resto 2) e a 4ª tem $4n+3$ (resto 3). A soma de uma linha inteira sempre resulta em um número com resto 2, portanto sempre estará na 3ª coluna.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a soma cai na 4ª coluna. Isso ocorreria se a soma tivesse resto 3 na divisão por 4, mas vimos que a soma é $4(4n+1)+2$, que tem resto 2. A 4ª coluna é formada por números do tipo $4n+3$ (resto 3), como 3, 7, 11, 15, etc. Portanto, a soma nunca estará nessa coluna.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A soma é $4(4n+1)+2$, que é um número da forma $4k+2$ (com $k=4n+1$). Na tabela, os números da forma $4k+2$ são exatamente os da 3ª coluna (2, 6, 10, 14, 18, 22, ...). Logo, a soma dos elementos de qualquer linha sempre será um elemento da 3ª coluna.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a soma cai na 2ª coluna. A 2ª coluna é formada por números do tipo $4n+1$ (resto 1), como 1, 5, 9, 13, etc. A soma tem resto 2, não resto 1, portanto não pode estar na 2ª coluna. O erro aqui é confundir o $+2$ da expressão com a posição da coluna, mas a coluna é determinada pelo resto, não pelo número somado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a soma cai na 1ª coluna. A 1ª coluna é formada por números do tipo $4n$ (resto 0), como 0, 4, 8, 12, etc. A soma tem resto 2, portanto não pode estar na 1ª coluna. Essa alternativa confunde a base da tabela (múltiplos de 4) com o resultado da soma.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a soma é um elemento da tabuada do 4 ou do 8. A soma é $4(4n+1)+2$, que não é múltiplo de 4 (pois tem resto 2) nem múltiplo de 8 (pois $8m$ sempre tem resto 0 ou 4 na divisão por 4). Por exemplo, para $n=0$, a soma é $0+1+2+3=6$, que não está na tabuada do 4 nem do 8. A alternativa confunde a estrutura da tabela com a tabuada.

Gabarito: letra B