Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2024

Quadriláteros: otimização de área com perímetro fixo

Gabarito: letra D. O problema de Polya — "de todos os retângulos de um mesmo perímetro, o quadrado é o de maior área" — é resolvido modelando a área como uma função quadrática da largura (ou comprimento) e encontrando o vértice da parábola, que corresponde ao valor máximo. As demais alternativas (sistemas lineares, função modular, função afim, álgebra matricial) não capturam a relação de otimização envolvida.

O ponto central é entender que, fixado o perímetro $P$, as dimensões de um retângulo não são independentes: se a largura é $x$, o comprimento é $\frac{P}{2} - x$. A área, então, é o produto dessas duas dimensões:

Essa é uma função quadrática com coeficiente $a = -1 < 0$, ou seja, uma parábola com concavidade voltada para baixo. O ponto de máximo dessa função é exatamente o vértice da parábola, cuja coordenada $x$ é dada por:

Assim, a largura que maximiza a área é $x = \frac{P}{4}$, e o comprimento correspondente é $\frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{P}{4}$. Ou seja, os dois lados são iguais — o retângulo é um quadrado. Esse é o raciocínio que conecta o problema geométrico ao estudo da função quadrática e do vértice da parábola.

Vamos verificar com um exemplo numérico. Se o perímetro é $P = 20$ cm, então $x_v = \frac{20}{4} = 5$ cm, e o comprimento é $\frac{20}{2} - 5 = 5$ cm. A área máxima é $5 \times 5 = 25$ cm². Se escolhêssemos um retângulo de $4 \times 6$, a área seria $24$ cm² — menor. De fato, qualquer outro par de dimensões com soma 10 produz área menor que 25 cm².

A distinção importante é entre os diferentes tipos de função e o que cada um modela:

A pegadinha da banca está em reconhecer que o problema não é sobre resolver um sistema de equações (que encontraria um ponto específico de interseção), mas sim sobre encontrar um valor máximo — o que é característico da função quadrática. O vértice da parábola é o conceito-chave que resolve a questão.

Guarde a fronteira: otimização (máximo/mínimo) de uma grandeza que é produto de duas variáveis dependentes = função quadrática + vértice. É exatamente esse critério que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Sistemas de inequações lineares modelam regiões de restrição (como "$x + y \leq 10$"), mas não capturam a relação de produto que define a área. O problema pede um máximo de uma função, não a solução de um conjunto de desigualdades. A otimização aqui é de uma função quadrática, não de uma região linear.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A função modular tem gráfico em forma de "V" e modela distâncias ou valores absolutos. Não há relação direta entre o problema de maximizar a área de um retângulo e o estudo de funções modulares. Os intersectos com os eixos, embora sejam pontos do gráfico, não respondem à pergunta sobre qual retângulo tem maior área.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A função afim é uma reta, que não possui ponto de máximo ou mínimo (a menos que seja constante). Como o problema busca um valor máximo de área, a função afim não é o contexto adequado. Os intersectos da reta com os eixos são informações sobre a reta, mas não sobre a otimização da área.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A área do retângulo, com perímetro fixo, é uma função quadrática da largura: $A(x) = -x^2 + \frac{P}{2}x$. O vértice da parábola, dado por $x_v = -\frac{b}{2a}$, fornece o valor de $x$ que maximiza a área. Esse é exatamente o contexto matemático do problema: estudar o gráfico da função quadrática e as coordenadas do vértice.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A álgebra matricial e sua relação com sistemas lineares é um ferramental para resolver sistemas de equações, não para otimizar funções. O problema de Polya não envolve matrizes nem sistemas lineares; envolve uma única função de uma variável (a área) que precisa ser maximizada.

Gabarito: letra D — o contexto matemático é o gráfico de uma função quadrática e as coordenadas do vértice de uma parábola.