Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219136

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 48 peças — alternativa B.

A ideia por trás

Múltiplo de um número é o resultado da multiplicação dele por um inteiro: os múltiplos de 12 são 12, 24, 36, 48, 60... Um múltiplo comum de dois números é aquele que aparece nas duas listas ao mesmo tempo. O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor deles, e todos os outros múltiplos comuns são múltiplos do MMC.

Para achar o MMC, fatoramos cada número em primos e pegamos cada fator com o maior expoente que aparece. Aqui, 12 = 2² × 3 e 16 = 2⁴; o MMC é 2⁴ × 3 = 48. Os múltiplos comuns de 12 e 16 são 48, 96, 144... — sempre pulando de 48 em 48. A condição de validade é que o total seja divisível exatamente pelos dois números, ou seja, um múltiplo comum.

Esta questão pede exatamente um múltiplo comum de 12 e 16, mas com a restrição de ser menor que 50. Isso reduz a resposta ao próprio MMC, pois o próximo múltiplo comum já é 96.

O que a questão dá

número de peças por caixa na primeira opção: 12
número de peças por caixa na segunda opção: 16
total de peças fabricadas é menor que 50

O que queremos: o número total de peças fabricadas

Passo 1 — Fatorar os dois números em primos

Para encontrar o MMC, precisamos decompor cada número em fatores primos. Isso mostra quais primos compõem cada um e com quais expoentes, permitindo combinar os dois.

Por que esta fórmula: A fatoração é a decomposição em números primos: dividimos o número pelos menores primos possíveis até sobrar 1.

12 = 2^{2} \times 3 \\ 16 = 2^{4}

De onde vem cada valor: $12$ = enunciado: primeira opção de peças por caixa · $16$ = enunciado: segunda opção de peças por caixa

12 = 2 \times 2 \times 3 \\ 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2

12 = 2² × 3; 16 = 2⁴

NÃO CAIA NESSA!

Fatorar errado, por exemplo, escrever 16 = 2² × 4, esquecendo que 4 ainda é composto.

Passo 2 — Calcular o MMC pegando os maiores expoentes

O MMC é o menor número que é múltiplo de ambos. Para isso, pegamos cada fator primo que aparece e usamos o maior expoente encontrado, garantindo que o resultado seja divisível pelos dois.

Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, cada um com o maior expoente. Aqui, o 2 aparece com expoente 4 (de 16) e o 3 com expoente 1 (de 12).

MMC(12{,}16) = 2^{4} \times 3

De onde vem cada valor: $2^{4}$ = passo 1: fatoração de 16 · $3$ = passo 1: fatoração de 12

MMC = 16 \times 3 = \boxed{48}

NÃO CAIA NESSA!

Pegar o menor expoente em vez do maior, o que daria 2² × 3 = 12, que não é múltiplo de 16.

Passo 3 — Verificar se o MMC é menor que 50

O enunciado limita o total a menos de 50 peças. O MMC é 48, que já é menor que 50, então ele é um candidato. Mas precisamos confirmar que não há outro múltiplo comum menor que 50.

Por que esta fórmula: Os múltiplos comuns são os múltiplos do MMC: 48, 96, 144... O próximo depois de 48 é 96, que já passa de 50. Portanto, 48 é o único possível.

\text{múltiplos comuns} = 48, 96, 144, \ldots

De onde vem cada valor: $48$ = passo 2: MMC(12,16) · $96$ = constante: 48 × 2 · $144$ = constante: 48 × 3

48 < 50 < 96

$\text{múltiplos comuns}$ = 48 é o único múltiplo comum menor que 50

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de checar a condição e escolher 96, que também é múltiplo comum, mas ultrapassa o limite.

Resposta: 48 peças — alternativa B

Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Fatorar os dois números em primos

Passo 2 — Calcular o MMC pegando os maiores expoentes

Passo 3 — Verificar se o MMC é menor que 50