Questão de Matemática — Produtos Notáveis — VUNESP 2025

Simplificação de Fração Algébrica

Gabarito: letra C — simplificando totalmente a fração, o resultado é $x - 3$. A chave está em fatorar o numerador e o denominador: o numerador tem um fator comum $(x-3)$ que, após a fatoração, cancela com o mesmo fator no denominador, restando $x - 3$.

A ideia por trás

Uma fração algébrica é uma divisão entre duas expressões algébricas. Simplificá-la significa encontrar uma expressão equivalente, porém mais simples, que seja válida para todos os valores de $x$ que não anulam o denominador original. Para isso, o método mais eficiente é fatorar o numerador e o denominador e, em seguida, cancelar os fatores comuns.

Vamos aplicar isso à fração dada:

Passo 1: Fatorar o numerador.

O numerador é $x^2-6x+9+(x^2-x-6)\cdot(x-3)$. Observe que $x^2-6x+9$ é um trinômio quadrado perfeito, pois $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$. Já o termo $(x^2-x-6)$ é um trinômio do 2º grau que pode ser fatorado: procuramos dois números que somados dão $-1$ e multiplicados dão $-6$; esses números são $2$ e $-3$. Portanto, $x^2-x-6 = (x+2)(x-3)$.

Substituindo na expressão original:

Agora, colocamos $(x-3)^2$ em evidência:

Passo 2: Fatorar o denominador.

O denominador é $x^2-9$, que é uma diferença de quadrados: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.

Passo 3: Simplificar a fração.

A fração fica:

Como $x \neq 3$ e $x \neq -3$, podemos cancelar os fatores $(x-3)$ e $(x+3)$ do numerador com os do denominador:

Portanto, a expressão simplificada é $x-3$.

Por que as outras alternativas estão erradas?

• Alternativa A ($x+3$): Este seria o resultado se cancelássemos apenas um fator $(x-3)$ e sobrasse $(x-3)(x+3)$ no numerador, mas o cancelamento correto elimina ambos os fatores comuns, restando apenas $x-3$.

• Alternativa B ($x-2$): Este valor não aparece em nenhuma etapa da fatoração. O termo $x-2$ não é fator de nenhuma parte da expressão original.

• Alternativa D ($x+2$): Este é o fator que aparece em $x^2-x-6 = (x+2)(x-3)$, mas ele não é o resultado da simplificação completa; ele é cancelado junto com os outros fatores.

Pegadinha

A banca explora a pressa do candidato: ao ver $x^2-6x+9$, muitos reconhecem $(x-3)^2$ e, ao ver $x^2-9$, reconhecem $(x-3)(x+3)$, mas podem se perder na manipulação do termo $(x^2-x-6)\cdot(x-3)$. O erro comum é não fatorar $x^2-x-6$ corretamente ou não perceber que ele também contém um fator $(x-3)$, o que impede o cancelamento completo.

Dica

Sempre que houver uma fração algébrica, o primeiro reflexo deve ser fatorar tudo. Procure por:

• Trinômios quadrados perfeitos: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$

• Diferença de quadrados: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

• Fator comum em evidência

Depois de fatorar, cancele os fatores comuns. Essa é a receita infalível para simplificar qualquer fração algébrica.

Gabarito: letra C