Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219180

Área e Perímetro de Triângulos

Gabarito: letra A. A área do triângulo equilátero ABC é $4\sqrt{3}$ cm², o que permite encontrar o lado $x = 4$ cm. Com isso, calculamos o perímetro do triângulo ACH (retângulo, com catetos 2 e $2\sqrt{3}$ e hipotenusa 4) e do triângulo BCD (isósceles, com lados 4, 8 e 8), somando-os: $2(13+\sqrt{3})$ cm.

A ideia por trás

A questão combina dois triângulos: um equilátero (ABC) e um isósceles (BCD), compartilhando o lado BC. A altura $\overline{CH}$ do triângulo equilátero divide a base AB ao meio, criando o triângulo retângulo ACH. Precisamos calcular o perímetro de ACH e de BCD e somá-los.

Passo 1: Encontrar o lado x do triângulo equilátero.

A área de um triângulo equilátero de lado $l$ é dada por:

A = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4}

Substituindo a área fornecida:

4\sqrt{3} = \frac{x^2 \sqrt{3}}{4}

Dividindo ambos os lados por $\sqrt{3}$ :

4 = \frac{x^2}{4} \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \text{ cm}

Passo 2: Calcular a altura CH do triângulo equilátero.

A altura de um triângulo equilátero de lado $l$ é:

h = \frac{l\sqrt{3}}{2}

Portanto:

CH = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \text{ cm}

Passo 3: Calcular o perímetro do triângulo ACH.

Como a altura CH divide a base AB ao meio, temos $AH = HB = 2$ cm. O triângulo ACH é retângulo em H, com catetos AH = 2 cm e CH = $2\sqrt{3}$ cm, e hipotenusa AC = 4 cm (lado do triângulo equilátero).

Perímetro de ACH:

P_{ACH} = AH + CH + AC = 2 + 2\sqrt{3} + 4 = 6 + 2\sqrt{3} \text{ cm}

Passo 4: Calcular o perímetro do triângulo BCD.

O triângulo BCD é isósceles com lados congruentes $BD = CD = 2x = 8$ cm e base $BC = x = 4$ cm.

Perímetro de BCD:

P_{BCD} = BD + CD + BC = 8 + 8 + 4 = 20 \text{ cm}

Passo 5: Somar os perímetros.

P_{total} = P_{ACH} + P_{BCD} = (6 + 2\sqrt{3}) + 20 = 26 + 2\sqrt{3} \text{ cm}

Fatorando o 2:

P_{total} = 2(13 + \sqrt{3}) \text{ cm}

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta exatamente o valor encontrado: $2(13+\sqrt{3})$ cm. A soma dos perímetros dos triângulos ACH e BCD é $26 + 2\sqrt{3}$ , que fatorado resulta em $2(13+\sqrt{3})$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $2(11+\sqrt{3})$ cm corresponde a $22 + 2\sqrt{3}$ cm. Esse resultado seria obtido se o perímetro de BCD fosse calculado como $16 + 2\sqrt{3}$ (erro ao considerar a base BC como $2\sqrt{3}$ em vez de 4, ou ao somar os lados de forma incorreta).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $2(9+\sqrt{3})$ cm corresponde a $18 + 2\sqrt{3}$ cm. Esse resultado seria obtido se o perímetro de BCD fosse calculado como $12 + 2\sqrt{3}$ (erro ao considerar os lados congruentes como $2x = 8$ mas a base como $2\sqrt{3}$ , ou ao esquecer de somar um dos lados).

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $2(8+\sqrt{3})$ cm corresponde a $16 + 2\sqrt{3}$ cm. Esse resultado seria obtido se o perímetro de BCD fosse calculado como $10 + 2\sqrt{3}$ (erro ao considerar os lados congruentes como $x = 4$ em vez de $2x = 8$ , ou ao esquecer de somar a base).

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o lado do triângulo equilátero (x = 4) e o lado do triângulo isósceles (2x = 8). O candidato pode calcular corretamente o perímetro de ACH, mas errar o de BCD ao usar x em vez de 2x, obtendo $2(9+\sqrt{3})$ ou $2(8+\sqrt{3})$ . Fique atento: a base BC é comum aos dois triângulos, mas os lados congruentes de BCD são o dobro do lado do equilátero.

Gabarito: letra A