Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219181
Banca
VUNESP
Órgão
FECAP
Ano
2025
Cargo
CEMETIEM ( )
Um estudante tem 2 livros diferentes de Matemática, 1 livro de Física e 1 livro de Química. Esse estudante quer colocar esses 4 livros, um ao lado do outro, na mesma prateleira da estante, mas quer que os 2 livros de Matemática fiquem juntos, mas não necessariamente na mesma ordem. Nessas condições, o número de maneiras diferentes de se ordenar esses 4 livros é
A6.
B8.
C10.
D12.
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GabaritoD — 12.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 12 maneiras — alternativa D.
A ideia por trás
Análise combinatória conta de quantas formas diferentes podemos organizar elementos. Quando a ordem importa, usamos permutação: para n elementos distintos, o número de ordenações é n! (lê-se 'n fatorial'), que é o produto de todos os inteiros de n até 1. Por exemplo, 3! = 3×2×1 = 6.
Quando alguns elementos devem ficar juntos, a técnica é tratá-los como um único bloco. Primeiro permutamos o bloco com os demais elementos, e depois multiplicamos pela permutação interna do bloco, porque a ordem dentro dele também conta. O princípio multiplicativo diz que, se uma escolha tem a possibilidades e outra tem b, o total é a×b.
Esta questão exige aplicar o método do bloco: amarrar os dois livros de Matemática como uma unidade, permutar essa unidade com os outros dois livros e, por fim, multiplicar pela permutação interna do bloco.
O que a questão dá
2 livros de Matemática (distintos)
1 livro de Física
1 livro de Química
total de 4 livros
O que queremos: o número de maneiras de ordenar os 4 livros com os 2 de Matemática juntos
Passo 1 — Formar o bloco dos livros de Matemática
Como os dois livros de Matemática devem ficar juntos, podemos imaginá-los como um único objeto 'M'. Isso reduz o problema de 4 itens para 3 itens a ordenar: o bloco M, o livro de Física e o livro de Química.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que os livros de Matemática são distintos e tratá-los como idênticos, o que levaria a menos combinações.
Passo 2 — Permutar o bloco com os outros livros
Agora temos 3 objetos distintos (bloco M, F, Q) para colocar na prateleira. O número de ordenações de 3 objetos é a permutação simples de 3 elementos.
Por que esta fórmula: A permutação de n elementos distintos é n!, pois o primeiro lugar tem n opções, o segundo n-1, e assim por diante. Aqui n=3.
De onde vem cada valor: = passo 1: número de objetos após formar o bloco
NÃO CAIA NESSA!
Usar 4! = 24, esquecendo que o bloco reduz o número de itens.
Passo 3 — Permutar os livros dentro do bloco
Os dois livros de Matemática são distintos, então a ordem dentro do bloco importa: M1M2 é diferente de M2M1. Precisamos contar essas possibilidades.
Por que esta fórmula: São 2 elementos distintos, então a permutação é 2!.
De onde vem cada valor: = enunciado: 2 livros de Matemática
NÃO CAIA NESSA!
Achar que a ordem interna não importa, o que reduziria o total pela metade.
Passo 4 — Multiplicar as possibilidades
Cada uma das 6 ordenações do bloco com F e Q pode ser combinada com cada uma das 2 ordens internas do bloco. O princípio multiplicativo diz que o total é o produto.
Por que esta fórmula: Se uma etapa tem a resultados e a outra tem b, o total é a×b, pois cada combinação é única.
De onde vem cada valor: = passo 2: 6 · = passo 3: 2
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar pela permutação interna, obtendo 6 (alternativa A).