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Questão de Matemática — Outras Questões sobre Ângulos — VUNESP 2025

MatemáticaOutras Questões sobre Ângulos
Código
vu219182
Banca
VUNESP
Órgão
FECAP
Ano
2025
Cargo
CEMETIEM ( )
Considere o triângulo retângulo ABC, reto em A, com o ângulo A \widehat{B}C=50º, e o triângulo CDE com os ângulos C \widehat{E}D=α e C \widehat{D}E = 45º, e os pontos A, D e C alinhados. Considere também o ponto P sobre o prolongamento do lado AC‾\overline{AC} e o ponto F na intersecção dos lados BC‾\overline{BC} e DE‾\overline{DE}, conforme mostra a figura.   Sabendo que o segmento CE‾\overline{CE} é bissetriz do ângulo F \widehat{C}P , a medida do ângulo α é:Imagem associada para resolução da questão
  1. A20°
  2. B25°
  3. C30°
  4. D35°
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 25°

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a α = 25° — alternativa B.

A ideia por trás

Em geometria plana, ângulos são a abertura entre duas semirretas que partem do mesmo ponto. Duas propriedades básicas governam quase tudo: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°, e dois ângulos são suplementares quando juntos formam 180° (um ângulo raso). Bissetriz é a semirreta que divide um ângulo em duas partes iguais.

O teorema do ângulo externo diz que, em um triângulo, um ângulo formado pelo prolongamento de um lado é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. Isso permite encadear medidas: conhecendo dois ângulos de um triângulo, o terceiro sai por diferença de 180°, e conhecendo um ângulo externo, a soma dos internos opostos é imediata.

Esta questão exige encadear essas propriedades em uma figura composta: primeiro achar o ângulo C do triângulo ABC, depois o suplemento dele, depois a bissetriz, e por fim usar o ângulo externo no triângulo CDE para isolar α.

O que a questão dá

  • triângulo ABC retângulo em A

  • ângulo ABC = 50°

  • triângulo CDE com ângulo CDE = 45°

  • pontos A, D e C alinhados

  • P sobre o prolongamento de AC

  • CE é bissetriz do ângulo FCP

O que queremos: a medida do ângulo α (CED)

Passo 1 — Achar o ângulo C do triângulo ABC

Precisamos conhecer o ângulo ACB porque ele é a base para achar o ângulo FCP. Como o triângulo ABC é retângulo em A, já sabemos que BAC = 90°, e o enunciado dá ABC = 50°. A soma dos três ângulos internos é sempre 180°, então o terceiro sai por subtração.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° — é uma propriedade fundamental da geometria plana, não uma fórmula decorada.

∠ACB=180°−90°−50°\angle ACB = 180° - 90° - 50°

De onde vem cada valor: 180°180° = constante: soma dos ângulos internos de um triângulo · 90°90° = definição: triângulo retângulo tem um ângulo reto de 90° · 50°50° = enunciado: ângulo ABC = 50°

∠ACB=180°−90°−50°=40 ∘\angle ACB = 180° - 90° - 50° = \boxed{40\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o triângulo é retângulo e tentar usar 180° - 50° = 130°, ignorando o ângulo reto.

Passo 2 — Achar o ângulo FCP

O ângulo FCP é formado pelo lado BC e pelo prolongamento de AC. Como A, D e C estão alinhados e P está no prolongamento, o ângulo ACB (40°) e o ângulo FCP juntos formam um ângulo raso de 180°. Por isso são suplementares.

Por que esta fórmula: Ângulos suplementares somam 180°; o ângulo raso é a linha reta que contém AC e seu prolongamento.

∠FCP=180°−∠ACB\angle FCP = 180° - \angle ACB

De onde vem cada valor: 180°180° = constante: ângulo raso · ∠ACB\angle ACB = passo 1: 40°

∠FCP=180°−40°=140 ∘\angle FCP = 180° - 40° = \boxed{140\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que FCP é igual a ACB (40°) — o erro clássico da questão, pois P está no prolongamento, não no segmento AC.

Passo 3 — Dividir o ângulo FCP pela bissetriz

O enunciado diz que CE é bissetriz do ângulo FCP. Bissetriz divide o ângulo em duas partes iguais, então cada metade vale metade de 140°. Isso nos dá o ângulo FCE, que será usado no próximo passo.

Por que esta fórmula: Definição de bissetriz: divide o ângulo em duas partes congruentes.

∠FCE=∠FCP2\angle FCE = \frac{\angle FCP}{2}

De onde vem cada valor: ∠FCP\angle FCP = passo 2: 140°

∠FCE=140°2=70 ∘\angle FCE = \frac{140°}{2} = \boxed{70\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 2 o ângulo ACB (40°) em vez do FCP (140°), obtendo 20°.

Passo 4 — Usar o ângulo externo no triângulo CDE

O ângulo FCE (70°) é externo ao triângulo CDE, pois é formado pelo prolongamento do lado CD (que está na reta AC) e o lado CE. Pelo teorema do ângulo externo, ele é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes, que são CDE (45°) e CED (α).

Por que esta fórmula: Teorema do ângulo externo: em um triângulo, o ângulo externo é a soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

∠FCE=∠CDE+∠CED\angle FCE = \angle CDE + \angle CED

De onde vem cada valor: ∠FCE\angle FCE = passo 3: 70° · ∠CDE\angle CDE = enunciado: 45° · ∠CED\angle CED = definição: é o ângulo α que queremos

70°=45°+α70° = 45° + \alpha
α=25 ∘\alpha = \boxed{25\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Aplicar o teorema do ângulo externo de forma errada, subtraindo 45° de 70° mas esquecendo que o externo é a SOMA, não a diferença.

Resposta: α = 25° — alternativa B

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