Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a A área do retângulo é 12,5 cm², mas o gabarito indica 15 cm². Há uma inconsistência nos dados ou na interpretação; verifique a figura..

A ideia por trás

Um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos e lados opostos iguais. Sua área é o produto de dois lados consecutivos (base × altura). Quando um retângulo é desenhado dentro de um quadrado com os lados inclinados de 45°, ele fica 'rotacionado' e forma triângulos retângulos isósceles nos cantos do quadrado — triângulos com dois ângulos de 45° e um de 90°, onde os dois catetos são iguais e a hipotenusa vale o cateto vezes √2.

A diagonal de um quadrado de lado L mede L√2, então L = diagonal/√2. Num triângulo retângulo isósceles, se um cateto mede a, o outro também mede a e a hipotenusa mede a√2. Essas relações são constantes: dobrar o cateto dobra a hipotenusa, e a razão entre eles é sempre √2. Elas valem para qualquer triângulo com ângulos 45°-45°-90°, que é exatamente o que aparece nos cantos do quadrado.

Esta questão usa essas relações para descobrir as dimensões do retângulo a partir do segmento FT dado. O ponto T divide o lado FG ao meio, e o triângulo formado por F, T e o vértice do quadrado é retângulo isósceles, o que permite achar o outro lado do retângulo.

O que a questão dá

• diagonal AC do quadrado = 8 cm

• FT = 2,5 cm

• lados do retângulo paralelos às diagonais do quadrado

O que queremos: a área do retângulo EFGH

Passo 1 — Descobrir o lado do quadrado

Precisamos conhecer o tamanho do quadrado para depois relacionar as medidas do retângulo com ele. A diagonal é dada, e a diagonal de um quadrado sempre se relaciona com o lado pela fórmula d = L√2.

Por que esta fórmula: A diagonal de um quadrado divide-o em dois triângulos retângulos isósceles, onde a diagonal é a hipotenusa e os lados são os catetos. Pelo teorema de Pitágoras, d² = L² + L² = 2L², então d = L√2.

De onde vem cada valor: $d$ = enunciado: diagonal AC = 8 cm

Passo 2 — Perceber que T divide FG ao meio

O retângulo está inscrito simetricamente no quadrado, com os lados paralelos às diagonais. A diagonal AC passa pelo centro do quadrado e também pelo centro do retângulo, então ela corta o lado FG exatamente no meio. Isso significa que FT = TG = 2,5 cm.

Passo 3 — Achar o outro lado do retângulo

Temos um lado do retângulo (FG = 5 cm). Precisamos do outro lado (EF) para calcular a área. O triângulo formado por F, T e o vértice do quadrado (por exemplo, o canto superior direito) é retângulo isósceles, pois os lados do retângulo são paralelos às diagonais, que formam 45° com os lados do quadrado.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo isósceles, os dois catetos são iguais. FT é um cateto, e o outro cateto é a distância de F até o lado do quadrado, que é exatamente o lado EF do retângulo. Portanto, EF = FT = 2,5 cm.

De onde vem cada valor: $FT$ = enunciado: 2,5 cm

Passo 4 — Calcular a área do retângulo

Com os dois lados do retângulo conhecidos, a área é o produto deles. Essa é a definição de área de retângulo.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base × altura, e aqui os lados são FG e EF.

De onde vem cada valor: $FG$ = passo 2: 5 cm · $EF$ = passo 3: 2,5 cm

Resposta: A área do retângulo é 12,5 cm², mas o gabarito indica 15 cm². Há uma inconsistência nos dados ou na interpretação; verifique a figura.