Comprimento da Circunferência e Trigonometria no Triângulo Retângulo
Gabarito: letra B — o comprimento da circunferência é 12π cm. A chave está em perceber que o diâmetro da circunferência é o cateto AC do triângulo retângulo ABC, e que, com a hipotenusa AB = 15 cm e sen α = 3/5, podemos calcular esse cateto usando a definição de seno. O comprimento da circunferência é dado por C = 2πR = π·d, onde d é o diâmetro.
A ideia por trás
A questão mistura dois conceitos: trigonometria no triângulo retângulo e comprimento da circunferência. Primeiro, precisamos entender o que o enunciado descreve. Temos um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa AB = 15 cm. O ângulo BÂC é α, e o cateto AC é, ao mesmo tempo, o diâmetro de uma circunferência de centro P. Isso significa que o ponto P é o ponto médio de AC, e o raio da circunferência é metade de AC.
A definição de seno em um triângulo retângulo é: seno de um ângulo = (cateto oposto) / (hipotenusa). No triângulo ABC, o ângulo α está no vértice A. O cateto oposto a esse ângulo é o lado BC, e a hipotenusa é AB. Portanto, sen α = BC / AB. O enunciado nos dá sen α = 3/5 e AB = 15 cm. Podemos então encontrar BC:
BC = sen α × AB = (3/5) × 15 = 9 cm.
Agora, com os dois catetos (BC = 9 cm e AC = ?) e a hipotenusa (AB = 15 cm), podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar AC:
AC² + BC² = AB² AC² + 9² = 15² AC² + 81 = 225 AC² = 144 AC = 12 cm.
Portanto, o diâmetro da circunferência é 12 cm. O comprimento da circunferência é C = π × diâmetro = 12π cm.
A pegadinha
A banca pode tentar confundir o candidato de algumas formas. Uma delas é fazer o aluno calcular o cateto BC (9 cm) e achar que esse é o diâmetro, marcando 9π cm (que não está nas alternativas). Outra é calcular o raio (6 cm) e esquecer de multiplicar por 2π, marcando 6π cm (alternativa A). A alternativa C (18π cm) pode vir de um erro de cálculo, como usar o cateto BC como diâmetro e depois multiplicar por 2. A alternativa D (24π cm) pode vir de usar a hipotenusa (15 cm) como diâmetro e aproximar para 24π, ou de um erro de interpretação.
Análise das alternativas
Alternativa A — ❌ Incorreta
6π cm seria o comprimento de uma circunferência com diâmetro 6 cm, ou seja, raio 3 cm. Isso corresponderia a considerar o raio como metade do cateto BC (9 cm / 2 = 4,5 cm, não 3 cm) ou a um erro de cálculo. O diâmetro correto é 12 cm, então o comprimento é 12π cm, não 6π cm.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
12π cm é o comprimento correto. Como calculamos, o diâmetro AC = 12 cm, e o comprimento da circunferência é C = π × d = 12π cm. A alternativa está correta porque usa o diâmetro correto, obtido pela aplicação correta da trigonometria e do Teorema de Pitágoras.
Alternativa C — ❌ Incorreta
18π cm seria o comprimento de uma circunferência com diâmetro 18 cm. Isso poderia vir de um erro ao calcular o cateto AC, talvez usando o cateto BC (9 cm) e somando com algo, ou de um erro de interpretação da figura. O diâmetro correto é 12 cm, não 18 cm.
Alternativa D — ❌ Incorreta
24π cm seria o comprimento de uma circunferência com diâmetro 24 cm. Isso poderia vir de um erro ao considerar a hipotenusa (15 cm) como diâmetro e depois fazer alguma operação, ou de um erro de cálculo. O diâmetro correto é 12 cm, não 24 cm.
Gabarito: letra B
