Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Divisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC) — VUNESP 2025

MatemáticaDivisibilidade, Números Primos, Fatores Primos, Divisor e Múltiplo Comum (MMC)
Código
vu219187
Banca
VUNESP
Órgão
FECAP
Ano
2025
Cargo
CEMETIEM ( )
Seu João tinha 21 notas de R$ 50,00 e 35 notas de R$ 20,00. Com essas notas, ele formou pequenas pilhas do seguinte modo: todas as pilhas tinham o mesmo número de notas, todas as notas de uma pilha eram de um mesmo valor, o número de notas dessas pilhas foi o maior possível, e não sobrou nota alguma fora das pilhas. Ao terminar de montar essas pilhas, ele percebeu que o número de notas de cada uma delas era igual ao número de netos que ele tinha. Decidiu, então, presentear cada um de seus netos com um envelope com dinheiro. Para tanto, ele retirou uma nota de cada uma das pilhas formadas e colocou no envelope, fazendo a mesma coisa até completar todos os envelopes. Dessa forma, o valor colocado em cada envelope foi
  1. AR$ 250,00.
  2. BR$ 270,00.
  3. CR$ 290,00.
  4. DR$ 310,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — R$ 250,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a R$ 250,00 — alternativa A.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois números é o maior número que divide os dois ao mesmo tempo, sem deixar resto. Ele aparece em problemas de divisão em grupos iguais: se você tem 21 maçãs e 35 laranjas e quer montar o maior número de cestas com a mesma quantidade de frutas, sem misturar tipos, o tamanho de cada cesta é o MDC(21, 35).

Para calcular o MDC, fatoramos cada número em primos e pegamos os fatores comuns com o menor expoente. Aqui, 21 = 3 × 7 e 35 = 5 × 7, então o fator comum é 7, logo MDC = 7. Isso significa que o maior número de notas por pilha é 7. Depois, dividimos a quantidade de notas de cada valor por 7 para saber quantas pilhas de cada tipo existem: 21 ÷ 7 = 3 pilhas de R$ 50,00 e 35 ÷ 7 = 5 pilhas de R$ 20,00, totalizando 8 pilhas.

Esta questão cobra o MDC para achar o tamanho das pilhas e depois uma interpretação de como distribuir as notas entre os envelopes: cada envelope recebe uma nota de cada pilha, então o valor é a soma de uma nota de cada pilha.

O que a questão dá

  • 21 notas de R$ 50,00

  • 35 notas de R$ 20,00

  • número de notas por pilha = maior possível

  • número de notas por pilha = número de netos

O que queremos: o valor colocado em cada envelope

Passo 1 — Calcular o MDC entre 21 e 35

O problema pede o maior número de notas por pilha que divide tanto 21 quanto 35 sem sobrar nota. Isso é exatamente o MDC: o maior divisor comum entre as quantidades de notas.

Por que esta fórmula: Fatoramos cada número em primos e pegamos os fatores comuns com o menor expoente. 21 = 3 × 7, 35 = 5 × 7, o fator comum é 7, então MDC = 7.

MDC(21,35)=7MDC(21, 35) = 7

De onde vem cada valor: 2121 = enunciado: 21 notas de R$ 50,00 · 3535 = enunciado: 35 notas de R$ 20,00

MDC(21,35)=7=7 notasporpilhaMDC(21, 35) = 7 = \boxed{7\ \text{notas} \text{por} \text{pilha}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular o MDC dos valores monetários (50 e 20) em vez das quantidades de notas — daria 10, levando a um resultado errado.

Passo 2 — Descobrir quantas pilhas de cada valor

Com o tamanho da pilha definido (7 notas), precisamos saber quantas pilhas existem de cada valor para depois montar os envelopes.

Por que esta fórmula: Dividimos a quantidade de notas de cada valor pelo tamanho da pilha: 21 ÷ 7 = 3 pilhas de R$ 50,00 e 35 ÷ 7 = 5 pilhas de R$ 20,00.

pilhas de 50=217=3,pilhas de 20=357=5\text{pilhas de 50} = \frac{21}{7} = 3, \quad \text{pilhas de 20} = \frac{35}{7} = 5

De onde vem cada valor: 2121 = enunciado: 21 notas de R$ 50,00 · 3535 = enunciado: 35 notas de R$ 20,00 · 77 = passo 1: MDC = 7

pilhas de 50=3,pilhas de 20=5\text{pilhas de 50} = 3, \quad \text{pilhas de 20} = 5

pilhas de 50\text{pilhas de 50} = 3 pilhas de R$ 50,00 e 5 pilhas de R$ 20,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir e achar que há 21 pilhas de R$ 50,00 e 35 de R$ 20,00.

Passo 3 — Calcular o total de pilhas

Cada envelope recebe uma nota de cada pilha, então precisamos saber quantas pilhas existem no total para saber quantas notas cada envelope terá.

Por que esta fórmula: Somamos as pilhas de cada valor: 3 + 5 = 8 pilhas no total.

total de pilhas=3+5=8\text{total de pilhas} = 3 + 5 = 8

De onde vem cada valor: 33 = passo 2: pilhas de R$ 50,00 · 55 = passo 2: pilhas de R$ 20,00

total de pilhas=8=8 pilhas\text{total de pilhas} = 8 = \boxed{8\ \text{pilhas}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o número de pilhas com o número de notas por pilha (7).

Passo 4 — Montar o valor de cada envelope

Cada envelope recebe uma nota de cada pilha. Como há 3 pilhas de R$ 50,00 e 5 de R$ 20,00, cada envelope terá 3 notas de R$ 50,00 e 5 de R$ 20,00.

Por que esta fórmula: O valor total é a soma das notas: 3 × 50 + 5 × 20.

valor=3×50+5×20\text{valor} = 3 \times 50 + 5 \times 20

De onde vem cada valor: 33 = passo 2: pilhas de R$ 50,00 · 5050 = enunciado: notas de R$ 50,00 · 55 = passo 2: pilhas de R$ 20,00 · 2020 = enunciado: notas de R$ 20,00

valor=3×50+5×20=150+100\text{valor} = 3 \times 50 + 5 \times 20 = 150 + 100

valor\text{valor} = R$ 250,00

NÃO CAIA NESSA!

Pensar que cada envelope recebe apenas uma nota de cada valor, totalizando R$ 70,00.

Resposta: R$ 250,00 — alternativa A

Link permanente: /questoes/vu219187