Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025
Matemática›Geometria Espacial
Código
vu219188
Banca
VUNESP
Órgão
FECAP
Ano
2025
Cargo
CEMETIEM ( )
Um artesão construiu dois sólidos maciços de madeira, um no formato de um cubo de aresta medindo x cm, e outro, no formato de prisma reto de base retangular, com 12 cm de altura, onde uma das arestas da base tinha a mesma medida da aresta do cubo, conforme mostra a figura. Sabendo que os dois sólidos têm o mesmo volume de 216 cm3, a área da face lateral do prisma, destacada na figura, é:
A72 cm2
B60 cm2
C48 cm2
D36 cm2
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GabaritoD — 36 cm2
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 36 cm² — alternativa D.
A ideia por trás
O cubo é um sólido com todas as arestas iguais; seu volume é o cubo da aresta. O prisma reto de base retangular é uma caixa com duas bases iguais e faces laterais retangulares; seu volume é a área da base vezes a altura. A face lateral de um prisma reto é um retângulo cuja área é o produto da altura do prisma pela aresta da base correspondente.
Para o cubo, V = a³, então a aresta é a raiz cúbica do volume. Para o prisma, V = A_b · h, onde A_b é o produto das duas arestas da base. Se uma aresta da base é conhecida, a outra é obtida dividindo a área da base por ela. A área da face lateral é o produto da altura pela aresta da base que forma essa face.
Esta questão usa o volume igual dos dois sólidos para descobrir a aresta do cubo, que é compartilhada com o prisma, e depois determina a outra aresta da base do prisma para calcular a área da face lateral destacada.
O que a questão dá
volume do cubo = 216 cm³
volume do prisma = 216 cm³
altura do prisma = 12 cm
uma aresta da base do prisma = aresta do cubo (x)
O que queremos: a área da face lateral destacada do prisma
Passo 1 — Descobrir a aresta do cubo
O volume do cubo é dado e é igual ao do prisma. Como o cubo tem todas as arestas iguais, sua aresta x é a raiz cúbica do volume. Essa aresta é também uma das dimensões da base do prisma, então precisamos dela primeiro.
Por que esta fórmula: O volume de um cubo é o produto das três arestas iguais, então V = x³. Para achar x, extraímos a raiz cúbica.
De onde vem cada valor: = enunciado: 216 cm³
NÃO CAIA NESSA!
Confundir raiz cúbica com raiz quadrada: √216 ≈ 14,7, mas ∛216 = 6.
Passo 2 — Calcular a área da base do prisma
O prisma tem o mesmo volume do cubo e altura conhecida. A área da base é o que falta para relacionar as dimensões da base com o volume.
Por que esta fórmula: O volume de um prisma é a área da base vezes a altura: V = A_b · h. Isolando A_b, temos a área da base.
De onde vem cada valor: = enunciado: 216 cm³ · = enunciado: 12 cm
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a divisão: 12/216 = 0,055, o que não faz sentido para área.
Passo 3 — Achar a outra aresta da base
A base do prisma é um retângulo com uma aresta igual a x (6 cm) e outra desconhecida. A área da base já foi calculada, então a outra aresta é a divisão da área pela aresta conhecida.
Por que esta fórmula: A área de um retângulo é o produto dos lados: A_b = a · b. Conhecendo A_b e a, isolamos b.
De onde vem cada valor: = passo 2: 18 cm² · = passo 1: 6 cm
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar em vez de dividir: 18 × 6 = 108, que não é uma dimensão plausível.
Passo 4 — Calcular a área da face lateral destacada
A face lateral destacada é um retângulo formado pela altura do prisma e por uma das arestas da base. A figura mostra que a face destacada é a que contém a aresta de 3 cm, não a de 6 cm.
Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base vezes altura. Aqui, a base é a aresta da base (3 cm) e a altura é a altura do prisma (12 cm).
De onde vem cada valor: = enunciado: 12 cm · = passo 3: 3 cm
NÃO CAIA NESSA!
Usar a aresta de 6 cm em vez da de 3 cm, obtendo 72 cm² (alternativa A).
