Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem e Permutação

Gabarito: letra A — a expressão que calcula o número de maneiras é $2 \times 32!$, pois há duas escolhas de cor (branco ou preto) e, para cada cor, 32 peças distintas podem ser organizadas nos 32 quadrados daquela cor de $32!$ maneiras. O raciocínio combina o Princípio Multiplicativo com a noção de permutação simples.

O problema pede para organizar 32 peças distintas em quadrados de mesma cor. O tabuleiro tem 32 quadrados brancos e 32 pretos. Para que todas as peças fiquem em quadrados de mesma cor, há duas possibilidades: ou todas ficam nos quadrados brancos, ou todas ficam nos quadrados pretos. Essas duas situações são mutuamente exclusivas, então, pelo Princípio Aditivo, devemos somar as contagens de cada caso.

Em cada caso, temos 32 peças distintas para colocar em 32 quadrados distintos. Isso é uma permutação simples de 32 elementos: o número de maneiras de ordenar as 32 peças nos 32 quadrados é $32!$ (fatorial de 32). Como há dois casos (branco ou preto), o total é $32! + 32! = 2 \times 32!$.

A pegadinha clássica é esquecer que a escolha da cor também é uma decisão a ser contada. Muitos candidatos calculam apenas $32!$ (esquecendo que há duas cores possíveis) ou $64!$ (como se as peças pudessem ocupar qualquer quadrado, sem a restrição de cor). A chave é perceber que a restrição "mesma cor" divide o problema em dois cenários independentes e idênticos.

Para fixar: quando temos $n$ objetos distintos para ocupar $n$ posições distintas, o número de arranjos é $n!$. Quando há uma escolha binária adicional (como a cor), multiplicamos por 2. Esse é exatamente o caso da questão.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $2 \times 32!$ está correta. Ela representa a soma das duas possibilidades: todas as peças nos quadrados brancos ($32!$ maneiras) ou todas nos quadrados pretos (mais $32!$ maneiras). O fator 2 vem da escolha da cor, e o fatorial $32!$ vem da permutação das 32 peças distintas nos 32 quadrados da cor escolhida.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{64!}{2}$ não corresponde ao problema. Ela seria o número de maneiras de organizar 32 peças distintas em 64 quadrados, dividido por 2, o que não tem relação com a restrição de mesma cor. O erro está em considerar todos os 64 quadrados como disponíveis para cada peça, ignorando a condição de que todas devem estar na mesma cor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $64!$ seria o número de maneiras de organizar 64 peças distintas nos 64 quadrados do tabuleiro, sem qualquer restrição. Como temos apenas 32 peças e elas devem ocupar quadrados de uma única cor, essa alternativa está completamente fora do escopo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O número 32 sozinho não representa nenhuma contagem relevante aqui. Ele poderia ser o número de quadrados de cada cor, mas não o número de maneiras de organizar as peças. A resposta correta envolve fatorial, não apenas o número 32.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{32!}{2}$ seria o número de maneiras de organizar 32 peças distintas em 32 quadrados, dividido por 2, o que não faz sentido no contexto. O fator 2 deveria multiplicar, não dividir, pois há duas cores possíveis.

Gabarito: letra A