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Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — VUNESP 2025

MatemáticaRazões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico.
Código
vu219222
Banca
VUNESP
Órgão
FICSAE
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Em um carrossel de cavalinhos de um parque de diversões, a altura de um determinado cavalinho que sobe e desce durante o funcionamento do brinquedo foi modelada pela função:   A(t) = 94 - 16 \cdot cos \left ( \frac{\pi t}{2} \right )   Nessa função, A(t) representa a altura dos cavalinhos, em centímetros, em relação ao solo, e t representa o tempo desde o início do funcionamento de uma sessão do carrossel, em segundos.   Se o tempo de funcionamento de uma sessão do carrossel é de 1 minuto, o número de vezes em que a cavalinho atinge a altura máxima em relação ao solo durante uma sessão é
  1. A12.
  2. B15.
  3. C18.
  4. D20.
  5. E30.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 15.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 15 vezes — alternativa B.

A ideia por trás

A função cosseno é uma onda que oscila entre -1 e 1, repetindo-se a cada volta completa no ciclo trigonométrico. O período é o tempo que a função leva para completar uma volta e voltar ao mesmo valor; a frequência é quantas voltas ela dá por segundo. Aqui, o cosseno está 'esticado' por um fator dentro do argumento, o que muda o período.

No cosseno, o valor máximo é 1 e o mínimo é -1. Quando multiplicamos o cosseno por um número negativo, o sinal inverte: -16·cos(θ) é máximo quando cos(θ) = -1. O argumento θ = πt/2 cresce com o tempo; o cosseno vale -1 quando θ = π + 2kπ, ou seja, a cada 2π radianos. Isso faz com que o máximo da função ocorra em intervalos regulares de tempo, que formam o período.

Esta questão pede para contar quantas vezes o máximo acontece dentro de um intervalo de tempo. Para isso, precisamos achar o primeiro instante em que o máximo ocorre e depois ver quantas vezes ele se repete até o fim da sessão.

O que a questão dá

  • função altura: A(t) = 94 - 16·cos(πt/2)

  • t em segundos

  • sessão dura 1 minuto = 60 segundos

O que queremos: quantas vezes o cavalinho atinge a altura máxima em uma sessão

Passo 1 — Descobrir quando a altura é máxima

A altura máxima acontece quando o termo -16·cos(πt/2) é o maior possível. Como o cosseno varia entre -1 e 1, o termo varia entre -16 e 16; para ser máximo, precisamos que o cosseno seja -1, pois -16·(-1) = 16. Então, precisamos resolver cos(πt/2) = -1.

Por que esta fórmula: O cosseno vale -1 nos ângulos π, 3π, 5π, ... ou seja, π + 2kπ, com k inteiro. Igualamos o argumento a isso.

cos⁡(πt2)=−1⇒πt2=π+2kπ\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right) = -1 \Rightarrow \frac{\pi t}{2} = \pi + 2k\pi

De onde vem cada valor: πt2\frac{\pi t}{2} = enunciado: argumento da função · π+2kπ\pi + 2k\pi = definição: condição para cosseno = -1

πt2=π+2kπ\frac{\pi t}{2} = \pi + 2k\pi
t=2 +4ksegundost = \boxed{2\ + 4\text{k} \text{segundos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o cosseno é -1, não 1; se usar 1, acha o mínimo, não o máximo.

Passo 2 — Achar o primeiro instante de altura máxima

Com a expressão t = 2 + 4k, o primeiro máximo ocorre quando k = 0, pois k é inteiro e não negativo. Isso dá t = 2 segundos. Precisamos desse valor para começar a contagem.

Por que esta fórmula: Substituímos k = 0 na expressão do passo anterior.

t1=2+4⋅0t_{1} = 2 + 4 \cdot 0

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: constante da expressão · 44 = passo 1: coeficiente de k · 00 = constante: primeiro valor inteiro de k

t1=2=2 st_{1} = 2 = \boxed{2\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que o primeiro máximo é em t = 0; mas em t = 0 o cosseno é 1, dando altura mínima.

Passo 3 — Descobrir o período da função

Os máximos se repetem a cada 4 segundos, pois t = 2 + 4k. O período é o intervalo entre dois máximos consecutivos, que é 4 segundos. Isso nos diz que os instantes de máximo formam uma progressão aritmética com razão 4.

Por que esta fórmula: O período de uma função cosseno com argumento πt/2 é 2π dividido pelo coeficiente de t, que é π/2. Então T = 2π/(π/2) = 4.

T=2ππ/2=4T = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4

De onde vem cada valor: 2π2\pi = definição: período do cosseno puro · π/2\pi/2 = enunciado: coeficiente de t no argumento

T=2ππ/2=4=4 sT = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4 = \boxed{4\ \text{s}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o período com o primeiro instante de máximo; o período é o intervalo, não o instante inicial.

Passo 4 — Listar os instantes de máximo até 60 s

A sessão dura 60 segundos. Os máximos ocorrem em t = 2, 6, 10, ... até o último que não passa de 60. Precisamos saber qual é o último termo dessa sequência.

Por que esta fórmula: A sequência é uma progressão aritmética com primeiro termo 2 e razão 4. O último termo é o maior múltiplo de 4 somado a 2 que seja ≤ 60. 58 = 2 + 4·14, então o último é 58.

tn=2+4(n−1)t_{n} = 2 + 4(n-1)

De onde vem cada valor: 22 = passo 2: primeiro instante · 44 = passo 3: período · nn = constante: número do termo

tn=2+4(n−1)t_{n} = 2 + 4(n-1)

tnt_{n} = 58 s (último máximo)

NÃO CAIA NESSA!

Incluir t = 60 como máximo, mas 60 não é da forma 2 + 4k.

Passo 5 — Contar quantos máximos existem

Agora que sabemos o primeiro (2 s) e o último (58 s) instante de máximo, e que eles se repetem a cada 4 s, podemos contar quantos termos há nessa progressão.

Por que esta fórmula: Usamos a fórmula do termo geral da PA: a_n = a_1 + (n-1)r. Aqui a_1 = 2, r = 4, a_n = 58. Resolvemos para n.

58=2+(n−1)⋅458 = 2 + (n-1) \cdot 4

De onde vem cada valor: 5858 = passo 4: último instante · 22 = passo 2: primeiro instante · 44 = passo 3: período

58=2+4(n−1)58 = 2 + 4(n-1)
n=15n = \boxed{15}
NÃO CAIA NESSA!

Simplesmente dividir 60 por 4 e achar 15, sem verificar se o primeiro máximo está em t=2; se a sessão fosse 62 s, daria 16, não 15,5.

Resposta: 15 vezes — alternativa B

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