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Questão de Matemática — Porcentagem — VUNESP 2025

MatemáticaPorcentagem
Código
vu219223
Banca
VUNESP
Órgão
FICSAE
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Considere que, ao soltar uma bola de borracha verticalmente de uma altura de 40 m, ela sempre recupera 50% de sua altura após bater no solo.   Ao bater no solo pela 4a vez, essa bola terá percorrido, desde seu lançamento,Imagem associada para resolução da questão
  1. A90 m.
  2. B95 m.
  3. C100 m.
  4. D105 m.
  5. E110 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 110 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 110 m — alternativa E.

A ideia por trás

Quando um corpo cai e quica, ele percorre uma distância que é a soma de todos os trechos: a queda inicial, depois cada subida e cada descida. Como a altura de cada quique é uma fração da anterior, os trechos formam uma progressão geométrica — uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão constante. Aqui a razão é 0,5, ou seja, cada altura é metade da anterior.

A distância total é a soma dos termos dessa progressão. Para uma PG finita, a soma dos n primeiros termos é S_n = a_1 · (1 - q^n)/(1 - q), onde a_1 é o primeiro termo e q é a razão. Mas atenção: cada quique tem dois trechos (subida e descida) de mesmo comprimento, então o percurso de um quique é o dobro da altura atingida. Além disso, o problema pede até a 4ª batida, então a subida do 4º quique não entra na conta.

Esta questão cobra exatamente a montagem da soma: identificar quais trechos entram (a queda inicial e os três primeiros quiques completos) e aplicar a soma da PG, sem esquecer de contar subida e descida de cada quique.

O que a questão dá

  • altura inicial = 40 m

  • recuperação = 50% da altura anterior

  • pede-se a distância total até a 4ª batida no solo

O que queremos: a distância total percorrida pela bola desde o lançamento até bater no solo pela 4ª vez

Passo 1 — Listar as alturas de cada quique

Precisamos saber quanto a bola sobe em cada quique para depois calcular a distância percorrida. Como ela recupera 50% da altura anterior, cada altura é metade da anterior.

Por que esta fórmula: A altura de cada quique é 50% da altura do quique anterior, ou seja, multiplica-se por 0,5. Isso é uma progressão geométrica de razão 0,5.

hn=h1⋅(0,5)n−1h_n = h_1 \cdot (0{,}5)^{n-1}

De onde vem cada valor: h1h_1 = enunciado: 40 m (altura inicial) · 0,50{,}5 = enunciado: recupera 50% da altura · nn = definição: número do quique (1, 2, 3, ...)

h1=40⋅(0,5)0=40,h2=40⋅0,5=20,h3=40⋅(0,5)2=10,h4=40⋅(0,5)3=5h_1 = 40 \cdot (0{,}5)^{0} = 40, h_2 = 40 \cdot 0{,}5 = 20, h_3 = 40 \cdot (0{,}5)^{2} = 10, h_4 = 40 \cdot (0{,}5)^{3} = 5

h1h_1 = alturas: 40 m, 20 m, 10 m, 5 m

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a altura do 4º quique é 5 m, mas ela não entra na soma porque o percurso pedido é até a 4ª batida, não até o 4º pico.

Passo 2 — Calcular a distância percorrida em cada quique

Cada quique tem dois trechos: a subida até a altura máxima e a descida de volta ao chão. Como são iguais, a distância de um quique é o dobro da altura atingida.

Por que esta fórmula: A distância percorrida em um quique é a soma da subida e da descida, ambas de comprimento igual à altura máxima daquele quique.

dquique=2⋅hquiqued_{quique} = 2 \cdot h_{quique}

De onde vem cada valor: hquiqueh_{quique} = passo 1: alturas 20 m, 10 m, 5 m

d1=2⋅20=40,d2=2⋅10=20,d3=2⋅5=10d_1 = 2 \cdot 20 = 40, d_2 = 2 \cdot 10 = 20, d_3 = 2 \cdot 5 = 10

d1d_1 = distâncias: 40 m, 20 m, 10 m

NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas a subida ou apenas a descida, esquecendo que a bola percorre os dois trechos.

Passo 3 — Somar a queda inicial e os três quiques

A distância total é a soma da queda inicial (40 m) com as distâncias dos três primeiros quiques, porque a 4ª batida ocorre ao final da descida do 3º quique. A subida do 4º quique ainda não aconteceu.

Por que esta fórmula: A distância total é a soma aritmética dos trechos percorridos: a queda inicial e cada quique completo.

dtotal=dqueda+d1+d2+d3d_{total} = d_{queda} + d_1 + d_2 + d_3

De onde vem cada valor: dquedad_{queda} = enunciado: 40 m · d1d_1 = passo 2: 40 m · d2d_2 = passo 2: 20 m · d3d_3 = passo 2: 10 m

dtotal=40+40+20+10=110 md_{total} = 40 + 40 + 20 + 10 = \boxed{110\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir a subida do 4º quique (5 m) na soma, o que daria 115 m — valor que não está nas alternativas, mas é um erro comum.

Resposta: 110 m — alternativa E

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