Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 2,25 — alternativa B.

A ideia por trás

O volume de uma pirâmide é um terço da área da base vezes a altura: V = (1/3)·A_base·h. O volume de um cubo é o cubo da sua aresta: V = a³. Para comparar os dois, precisamos expressar a base e a altura da pirâmide em função da aresta do cubo, e isso depende da posição do cubo dentro da pirâmide.

Quando um cubo está inscrito numa pirâmide com a face inferior sobre a base, a seção vertical que passa pelo vértice e pelo centro da base é um triângulo. Nesse triângulo, o cubo aparece como um retângulo de altura a e largura a. Por semelhança de triângulos, a razão entre a metade do lado da base e a altura da pirâmide é igual à razão entre a metade da largura do cubo na altura a e a distância do vértice até essa altura. Isso permite achar o lado da base em função de a.

Esta questão exige montar a semelhança de triângulos na seção da pirâmide para descobrir o lado da base em função da aresta do cubo, e então calcular os volumes e a razão.

O que a questão dá

• altura da pirâmide = 3 × aresta do cubo

• aresta do cubo = a (adotada como unidade)

• cubo com uma face sobre a base da pirâmide

• um vértice do cubo coincide com o vértice A da base

• seis outros vértices do cubo sobre as arestas da pirâmide

O que queremos: a razão entre o volume da pirâmide e o volume do cubo

Passo 1 — Desenhar a seção vertical da pirâmide

A pirâmide é um objeto tridimensional, mas a relação entre o cubo e a pirâmide aparece numa fatia vertical que passa pelo vértice e pelo centro da base. Nessa fatia, a pirâmide vira um triângulo isósceles e o cubo vira um retângulo, o que permite usar semelhança de triângulos.

Passo 2 — Montar a semelhança de triângulos

No triângulo grande, a altura total é 3a. O topo do cubo está a uma altura a da base, então a distância do vértice até o topo do cubo é 3a - a = 2a. Nessa altura, a largura do cubo é a, então a metade dessa largura é a/2. O triângulo pequeno formado pelo vértice, o ponto médio da base e o ponto médio do topo do cubo é semelhante ao triângulo grande, porque ambos têm o mesmo ângulo no vértice e são retângulos.

Por que esta fórmula: A semelhança de triângulos diz que a razão entre os lados correspondentes é constante. Aqui, a razão entre a metade da base do triângulo grande (L/2) e a altura total (3a) é igual à razão entre a metade da largura do cubo (a/2) e a altura do triângulo pequeno (2a).

De onde vem cada valor: $L$ = definição: lado da base da pirâmide (incógnita) · $3a$ = enunciado: altura da pirâmide = 3 × aresta do cubo · $a/2$ = definição: metade da largura do cubo na altura a · $2a$ = definição: distância do vértice até o topo do cubo (3a - a)

Passo 3 — Resolver a proporção para achar L

A semelhança de triângulos já está montada; agora é só isolar L para saber o lado da base da pirâmide em função de a.

Por que esta fórmula: Multiplicando em cruz e simplificando, obtemos L diretamente.

De onde vem cada valor: $6a$ = passo 2: 3a × 2 (da multiplicação em cruz) · $4$ = passo 2: 2 × 2 (da multiplicação em cruz)

Passo 4 — Calcular o volume da pirâmide

Com o lado da base L = 1,5a e a altura H = 3a, podemos aplicar a fórmula do volume da pirâmide.

Por que esta fórmula: O volume de uma pirâmide é um terço da área da base vezes a altura. A base é um quadrado de lado L, então a área é L².

De onde vem cada valor: $L$ = passo 3: 1,5a · $H$ = enunciado: altura da pirâmide = 3 × aresta do cubo = 3a

Passo 5 — Calcular o volume do cubo

O volume do cubo é a referência para a razão pedida; como a aresta é a, o volume é a³.

Por que esta fórmula: O volume de um cubo é o cubo da aresta.

De onde vem cada valor: $a$ = definição: aresta do cubo (adotada como unidade)

Passo 6 — Dividir os volumes para obter a razão

A questão pede a razão entre o volume da pirâmide e o do cubo; basta dividir os dois valores já calculados.

Por que esta fórmula: A razão é a divisão direta dos volumes.

De onde vem cada valor: $V_{pir}$ = passo 4: 2,25a³ · $V_{cubo}$ = passo 5: a³

Resposta: 2,25 — alternativa B