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Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2025

MatemáticaFunção de Segundo Grau
Código
vu219254
Banca
VUNESP
Órgão
FICSAE
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Dadas as constantes reais p e q, considere a função polinomial do primeiro grau f(x) = –x + 10, e a função quadrática g(x) = px2 + qx + 4. Os gráficos dessas funções se intersectam em dois pontos tais que a distância entre suas abscissas e a distância entre suas ordenadas é igual a 4. Sabendo que a abscissa de um dos pontos de intersecção desses gráficos é –1, o valor de p + q é igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A2.
  2. B5.
  3. C0.
  4. D–4.
  5. E–3.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — –3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a p + q = -3, alternativa E.

A ideia por trás

Uma função do segundo grau, também chamada quadrática, tem a forma g(x) = ax² + bx + c e seu gráfico é uma parábola. Os pontos onde duas funções se encontram são as soluções da equação f(x) = g(x), que, quando uma é do primeiro grau e a outra do segundo, vira uma equação do segundo grau em x. As raízes dessa equação são exatamente as abscissas dos pontos de interseção.

Para uma equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, as raízes x₁ e x₂ têm propriedades ligadas aos coeficientes: a soma é -b/a e o produto é c/a. A diferença entre as raízes é |x₁ - x₂| = √Δ / |a|, onde Δ = b² - 4ac é o discriminante. Essa diferença é justamente a distância entre as abscissas dos pontos de interseção.

Esta questão fornece uma das raízes (-1) e a distância entre as abscissas (4). Com a raiz conhecida, obtemos uma relação entre p e q; com a distância, outra. Resolvendo o sistema, encontramos p e q e, por fim, p + q.

O que a questão dá

  • f(x) = -x + 10

  • g(x) = px² + qx + 4

  • abscissa de um ponto de interseção = -1

  • distância entre as abscissas = 4

  • distância entre as ordenadas = 4

O que queremos: o valor de p + q

Passo 1 — Igualar as funções para achar a equação das abscissas

Os pontos de interseção são onde as duas funções têm o mesmo valor de y. Igualar f(x) e g(x) transforma o problema em uma equação do segundo grau cujas raízes são as abscissas procuradas.

Por que esta fórmula: A condição de interseção é f(x) = g(x). Substituindo as expressões e reorganizando os termos, obtemos a equação quadrática em x.

px2+(q+1)x−6=0px^{2} + (q+1)x - 6 = 0

De onde vem cada valor: pp = enunciado: coeficiente de x² em g(x) · q+1q+1 = enunciado: q de g(x) mais 1 de -x de f(x) · −6-6 = constante: 4 de g(x) menos 10 de f(x)

−x+10=px2+qx+4⇒px2+(q+1)x−6=0-x + 10 = px^{2} + qx + 4 \Rightarrow px^{2} + (q+1)x - 6 = 0
px2+(q+1)x−6=0px^{2} + (q+1)x - 6 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar 10 para o outro lado: -x + 10 = px² + qx + 4 ⇒ px² + qx + 4 + x - 10 = 0 ⇒ px² + (q+1)x - 6 = 0

Passo 2 — Usar a raiz conhecida para relacionar p e q

Sabemos que x = -1 é uma das raízes da equação do passo 1. Substituir esse valor na equação nos dá uma relação direta entre p e q, que será uma das equações do sistema.

Por que esta fórmula: Se x = -1 é raiz, então a equação se anula nesse ponto. Substituímos x por -1 e simplificamos.

p(−1)2+(q+1)(−1)−6=0p(-1)^{2} + (q+1)(-1) - 6 = 0

De onde vem cada valor: p(−1)2p(-1)^{2} = passo 1: termo px² com x = -1 · (q+1)(−1)(q+1)(-1) = passo 1: termo (q+1)x com x = -1 · −6-6 = passo 1: termo constante

p⋅1+(q+1)(−1)−6=0⇒p−q−1−6=0⇒p−q=7p \cdot 1 + (q+1)(-1) - 6 = 0 \Rightarrow p - q - 1 - 6 = 0 \Rightarrow p - q = 7
p−q=7p - q = \boxed{7}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos ao substituir x = -1 no termo (q+1)x, resultando em p + q + 1 - 6 = 0

Passo 3 — Montar a equação da distância entre as abscissas

O enunciado diz que a distância entre as abscissas dos pontos de interseção é 4. Essa distância é a diferença entre as raízes da equação do passo 1. Usamos a fórmula da diferença das raízes para obter uma segunda equação envolvendo p e q.

Por que esta fórmula: Para uma equação ax² + bx + c = 0, a diferença entre as raízes é |x₁ - x₂| = √Δ / |a|, onde Δ = b² - 4ac. Aqui, a = p, b = q+1, c = -6.

(q+1)2−4⋅p⋅(−6)∣p∣=4\frac{\sqrt{(q+1)^{2} - 4 \cdot p \cdot (-6)}}{|p|} = 4

De onde vem cada valor: q+1q+1 = passo 1: coeficiente b · pp = passo 1: coeficiente a · −6-6 = passo 1: coeficiente c

(q+1)2+24p∣p∣=4\frac{\sqrt{(q+1)^{2} + 24p}}{|p|} = 4
√((q+1)2+24p)/∣p∣=4√((q+1)^{2} + 24p) / |p| = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o valor absoluto no denominador, o que pode levar a soluções incorretas quando p é negativo

Passo 4 — Substituir q por p - 7 na equação da distância

Temos duas equações com duas incógnitas. Para resolver, expressamos q em função de p usando a relação do passo 2 e substituímos na equação do passo 3, ficando com uma equação apenas em p.

Por que esta fórmula: Da relação p - q = 7, isolamos q = p - 7. Substituímos na equação da distância.

(p−7+1)2+24p∣p∣=4\frac{\sqrt{(p-7+1)^{2} + 24p}}{|p|} = 4

De onde vem cada valor: p−7p-7 = passo 2: q = p - 7 · +1+1 = passo 1: termo (q+1) · 24p24p = passo 3: termo 24p

(p−6)2+24p∣p∣=4\frac{\sqrt{(p-6)^{2} + 24p}}{|p|} = 4
√((p−6)2+24p)/∣p∣=4√((p-6)^{2} + 24p) / |p| = \boxed{4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a simplificação de (p-7+1) para (p-6)

Passo 5 — Elevar ao quadrado e simplificar a equação

Para eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto, elevamos ambos os lados ao quadrado. Isso é válido porque ambos os lados são positivos (distância e raiz). Depois, simplificamos a equação resultante.

Por que esta fórmula: Elevar ao quadrado é a operação inversa da raiz quadrada. Com isso, obtemos uma equação polinomial em p.

(p−6)2+24p=16p2(p-6)^{2} + 24p = 16p^{2}

De onde vem cada valor: (p−6)2(p-6)^{2} = passo 4: numerador ao quadrado · 24p24p = passo 4: termo do numerador · 16p216p^{2} = passo 4: denominador ao quadrado vezes 16

(p−6)2+24p=16p2⇒p2−12p+36+24p=16p2⇒p2+12p+36=16p2(p-6)^{2} + 24p = 16p^{2} \Rightarrow p^{2} - 12p + 36 + 24p = 16p^{2} \Rightarrow p^{2} + 12p + 36 = 16p^{2}
p2+12p+36=16 p2p^{2} + 12p + 36 = \boxed{16\ \text{p}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o termo 2ab ao expandir (p-6)², resultando em p² - 12p + 36

Passo 6 — Resolver a equação do segundo grau em p

A equação do passo 5 é uma quadrática em p. Precisamos encontrar os valores de p que a satisfazem. Usamos a fórmula de Bhaskara.

Por que esta fórmula: A equação 5p² - 4p - 12 = 0 tem a = 5, b = -4, c = -12. A fórmula de Bhaskara dá as raízes.

p=−b±b2−4ac2ap = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = passo 5: coeficiente de p² · bb = passo 5: coeficiente de p · cc = passo 5: termo constante

p=4±16+24010=4±1610p = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{10} = \frac{4 \pm 16}{10}

p = 2 ou p = -1,2

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de b na fórmula, usando -(-4) = 4 corretamente, mas esquecer o sinal de c

Passo 7 — Verificar qual p satisfaz a distância entre as ordenadas

O enunciado também exige que a distância entre as ordenadas seja 4. Como f(x) = -x + 10, a diferença entre as ordenadas é |f(x₁) - f(x₂)| = |x₂ - x₁| = |x₁ - x₂|, que já é 4. Portanto, ambos os valores de p são válidos. Mas precisamos verificar se a raiz x = -1 é realmente uma das raízes para cada p.

Por que esta fórmula: Para cada p, calculamos q = p - 7 e verificamos se a equação do passo 1 tem x = -1 como raiz. Isso é garantido pela construção, mas podemos conferir.

p+q=p+(p−7)=2p−7p + q = p + (p - 7) = 2p - 7

De onde vem cada valor: pp = passo 6: valor de p · qq = passo 2: q = p - 7

Parap=2:q=−5,p+q=−3.Parap=−1,2:q=−8,2,p+q=−9,4Para p = 2: q = -5, p + q = -3. Para p = -1{,}2: q = -8{,}2, p + q = -9{,}4

p + q = -3 para p = 2

NÃO CAIA NESSA!

Achar que ambos os valores de p são válidos, mas o enunciado pede o valor de p + q, e apenas um deles aparece nas alternativas

Resposta: p + q = -3, alternativa E

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