Questão de Matemática — Progressão Aritmética — VUNESP 2025

Progressão Aritmética: soma acumulada e localização temporal

Gabarito: letra D. O número de ligações por minuto forma uma progressão aritmética de razão 3 (4, 7, 10, ...), e a soma acumulada ultrapassa 1000 ligações entre os minutos 25 e 26 — exatamente o intervalo 0h25–0h26. A resolução usa a fórmula da soma dos termos de uma PA: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

O problema descreve uma sequência de ligações por minuto que cresce de forma constante: no primeiro minuto (0h00–0h01) foram 4 ligações, no segundo (0h01–0h02) foram 7, no terceiro (0h02–0h03) foram 10, e assim por diante, sempre 3 ligações a mais que no minuto anterior. Isso é a definição exata de uma progressão aritmética (PA): uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante — aqui, a razão $r = 3$.

O que a questão pede não é o número de ligações em um minuto específico, mas o total acumulado de ligações até determinado minuto. Para isso, usamos a fórmula da soma dos $n$ primeiros termos de uma PA:

onde $a_1$ é o primeiro termo (4 ligações), $a_n$ é o termo na posição $n$ (ligações no minuto $n$) e $n$ é o número de minutos. O termo geral é dado por $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$, então $a_n = 4 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 1$.

Substituindo na fórmula da soma:

Queremos encontrar o menor $n$ tal que $S_n > 1000$. Testando valores:

• Para $n = 25$: $S_{25} = \frac{(3 \cdot 25 + 5) \cdot 25}{2} = \frac{80 \cdot 25}{2} = 1000$.

• Para $n = 26$: $S_{26} = \frac{(3 \cdot 26 + 5) \cdot 26}{2} = \frac{83 \cdot 26}{2} = 1079$.

Ou seja, exatamente no minuto 25 o total acumulado é 1000 ligações, e no minuto 26 passa para 1079. Portanto, o número de ligações passou de 1000 durante o 26º minuto, que corresponde ao intervalo entre 0h25 e 0h26 (pois o minuto 1 vai de 0h00 a 0h01, o minuto 2 de 0h01 a 0h02, e assim por diante).

A pegadinha clássica aqui é confundir o minuto em que o total atinge exatamente 1000 (minuto 25, quando $S_{25} = 1000$) com o minuto em que o total ultrapassa 1000 (minuto 26, quando $S_{26} = 1079$). O enunciado pede "passou de 1000", ou seja, o momento em que o acumulado fica maior que 1000 — isso só acontece no minuto 26. Guarde essa distinção: é exatamente nela que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo 0h22–0h23 corresponde ao minuto 23. Calculando $S_{23} = \frac{(3 \cdot 23 + 5) \cdot 23}{2} = \frac{74 \cdot 23}{2} = 851$. O total acumulado é 851, bem abaixo de 1000. A alternativa erra ao indicar um minuto em que o total ainda não chegou nem perto de 1000.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo 0h23–0h24 corresponde ao minuto 24. Calculando $S_{24} = \frac{(3 \cdot 24 + 5) \cdot 24}{2} = \frac{77 \cdot 24}{2} = 924$. O total acumulado é 924, ainda abaixo de 1000. A alternativa erra ao indicar um minuto em que o total ainda não alcançou 1000.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo 0h21–0h22 corresponde ao minuto 22. Calculando $S_{22} = \frac{(3 \cdot 22 + 5) \cdot 22}{2} = \frac{71 \cdot 22}{2} = 781$. O total acumulado é 781, muito abaixo de 1000. A alternativa erra ao indicar um minuto em que o total está longe de 1000.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo 0h25–0h26 corresponde ao minuto 26. No minuto 25, o total acumulado é exatamente $S_{25} = 1000$; no minuto 26, o total acumulado é $S_{26} = 1079$. Portanto, é durante o minuto 26 que o número de ligações passa de 1000, ou seja, entre 0h25 e 0h26. A alternativa está correta porque identifica precisamente o intervalo em que o acumulado ultrapassa o valor de 1000.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo 0h24–0h25 corresponde ao minuto 25. Nesse minuto, o total acumulado é exatamente $S_{25} = 1000$, mas o enunciado pede o momento em que o total passa de 1000, ou seja, fica maior que 1000. No minuto 25, o total é igual a 1000, não maior. A alternativa erra ao indicar o minuto em que o total atinge 1000, em vez do minuto em que o ultrapassa.

Gabarito: letra D