GabaritoD — 24.
Gabarito: letra D — a conta chega a X·Y é necessariamente múltiplo de 24 — alternativa D.
Múltiplo de um número é todo número que pode ser escrito como o produto desse número por um inteiro. Por exemplo, os múltiplos de 6 são 6, 12, 18, 24, 30, ... e os de 8 são 8, 16, 24, 32, 40, ... O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois números é o menor número que é múltiplo de ambos ao mesmo tempo — no caso, 24.
Se X é múltiplo de 6, então X = 6·a para algum inteiro a. Se Y é múltiplo de 8, então Y = 8·b para algum inteiro b. O produto X·Y = (6·a)·(8·b) = 48·a·b, ou seja, é sempre múltiplo de 48. Como 48 é múltiplo de 24, todo múltiplo de 48 também é múltiplo de 24. Portanto, qualquer produto X·Y é necessariamente múltiplo de 24.
A questão pede o número que é divisor de todos os possíveis valores de X·Y. O maior número que divide todos os múltiplos de 6 e 8 simultaneamente é o MMC(6,8) = 24. A condição de que o produto está entre 50 e 200 apenas restringe os valores possíveis, mas não altera a divisibilidade por 24.
X é múltiplo de 6
Y é múltiplo de 8
X·Y é maior que 50 e menor que 200
O que queremos: o número que é necessariamente divisor de X·Y
Para analisar o produto X·Y, precisamos expressar X e Y em função de seus múltiplos. Como X é múltiplo de 6, existe um inteiro a tal que X = 6a. Como Y é múltiplo de 8, existe um inteiro b tal que Y = 8b. Isso nos permite trabalhar com o produto de forma algébrica.
Por que esta fórmula: A definição de múltiplo: se um número é múltiplo de outro, ele pode ser escrito como o produto desse outro por um inteiro.
De onde vem cada valor: = enunciado: X é múltiplo de 6 · = enunciado: Y é múltiplo de 8
Esquecer que a e b são inteiros e podem ser quaisquer, inclusive 1.
Agora que temos X e Y em função de a e b, podemos multiplicá-los para ver a estrutura do produto. Isso revela que o produto é sempre múltiplo de 48, independentemente dos valores de a e b.
Por que esta fórmula: Multiplicação direta: (6a)·(8b) = 48ab. Como a e b são inteiros, ab também é inteiro, então X·Y é múltiplo de 48.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 1 · = constante: 6 × 8 = 48
Achar que o produto é múltiplo de 6×8 = 48, mas esquecer que isso já é suficiente para concluir que é múltiplo de 24.
A pergunta pede o número que é necessariamente divisor de X·Y. Como X·Y é múltiplo de 48, ele também é múltiplo de qualquer divisor de 48. Precisamos encontrar o maior divisor comum a todos os múltiplos de 48, que é o próprio 48, mas como 48 não está nas alternativas, devemos verificar qual alternativa divide 48. O MMC entre 6 e 8 é 24, e 24 divide 48, então todo múltiplo de 48 é múltiplo de 24.
Por que esta fórmula: O MMC entre 6 e 8 é 24, pois 6 = 2×3 e 8 = 2³, então o MMC é 2³×3 = 24. Como 48 = 2×24, todo múltiplo de 48 é múltiplo de 24.
De onde vem cada valor: = enunciado · = enunciado
Confundir MMC com MDC: o MDC(6,8) é 2, mas o produto não é necessariamente múltiplo de 2? Na verdade é, mas 2 não está nas alternativas. O que a banca quer é o MMC.
A condição de que X·Y está entre 50 e 200 serve apenas para garantir que existem valores possíveis, mas não altera a divisibilidade. Precisamos confirmar que existem múltiplos de 24 nesse intervalo, para que a alternativa seja válida.
Por que esta fórmula: Os múltiplos de 24 são 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, ... Dentro do intervalo (50,200) temos 72, 96, 120, 144, 168, 192. Portanto, existem valores possíveis.
Existem múltiplos de 24 no intervalo
Achar que a condição do intervalo elimina a divisibilidade por 24, mas ela apenas restringe os valores, não muda o fato de todos serem múltiplos de 24.
Resposta: X·Y é necessariamente múltiplo de 24 — alternativa D
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