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Questão de Matemática — Radiciação e Potenciação — VUNESP 2025

MatemáticaRadiciação e Potenciação
Código
vu219279
Banca
VUNESP
Órgão
CEFSA
Ano
2025
Cargo
CA ( )
O número 60 não tem raiz quadrada inteira. Considere que n seja o menor número inteiro e positivo que, se multiplicado por 60, resulta em um número Y que possui raiz quadrada inteira. A raiz quadrada de Y é
  1. A15.
  2. B20.
  3. C25.
  4. D30.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 30.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 30 — alternativa D.

A ideia por trás

Um quadrado perfeito é um número inteiro que é o quadrado de outro inteiro, como 25 = 5². Para reconhecer um, fatoramos o número em primos: se todos os expoentes forem pares, o número é quadrado perfeito. Por exemplo, 36 = 2² × 3² tem expoentes 2 e 2, ambos pares, então √36 = 2 × 3 = 6.

Quando multiplicamos um número por outro, os expoentes dos fatores primos se somam. Para que o produto seja um quadrado perfeito, cada expoente final precisa ser par. Então, se um fator aparece com expoente ímpar, precisamos multiplicar por mais uma cópia dele para completar o par. O menor multiplicador é exatamente o produto dos fatores que estão com expoente ímpar.

Esta questão pede para completar os expoentes ímpares de 60 e depois calcular a raiz do produto. O passo crucial é fatorar 60 e identificar quais fatores precisam ser duplicados.

O que a questão dá

  • número original: 60

  • condição: 60 × n = Y, com Y tendo raiz quadrada inteira

  • n é o menor inteiro positivo

O que queremos: a raiz quadrada de Y

Passo 1 — Fatorar o número 60 em primos

Para saber quais fatores estão com expoente ímpar, precisamos da decomposição em primos. Isso revela a 'estrutura' do número e mostra o que falta para ele virar um quadrado perfeito.

Por que esta fórmula: Fatorar é dividir sucessivamente pelos menores primos até sobrar 1. 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2² × 3 × 5.

60=22×3×560 = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 222^{2} = definição: fatoração de 60 · 33 = definição: fatoração de 60 · 55 = definição: fatoração de 60

60=22×3×560 = 2^{2} \times 3 \times 5
60=2 2×3×560 = \boxed{2\ ^{2} \times 3 \times 5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, por exemplo parar em 60 = 4 × 15, sem notar que 4 = 2² e 15 = 3 × 5.

Passo 2 — Completar os expoentes ímpares

Para que o produto seja um quadrado perfeito, todos os expoentes precisam ser pares. O 2 já tem expoente 2 (par), mas o 3 e o 5 têm expoente 1 (ímpar). Precisamos multiplicar por mais um 3 e mais um 5 para completar os pares.

Por que esta fórmula: O menor multiplicador é o produto dos fatores que estão com expoente ímpar, cada um elevado a 1. Aqui, são 3 e 5.

n=3×5n = 3 \times 5

De onde vem cada valor: 33 = passo 1: fator de 60 com expoente ímpar · 55 = passo 1: fator de 60 com expoente ímpar

n=3×5n = 3 \times 5
n=15n = \boxed{15}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir o 2 também, achando que precisa de mais um 2, mas o expoente 2 já é par.

Passo 3 — Calcular Y = 60 × n

Agora que sabemos o multiplicador, calculamos o número Y que será um quadrado perfeito. Isso confirma que n está certo e nos dá o número cuja raiz vamos extrair.

Por que esta fórmula: Y é o produto do número original pelo multiplicador encontrado.

Y=60×nY = 60 \times n

De onde vem cada valor: 6060 = enunciado · nn = passo 2: 15

Y=60×15Y = 60 \times 15
Y=900Y = \boxed{900}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 60 × 15 = 900, não 600.

Passo 4 — Extrair a raiz quadrada de Y

A pergunta final é a raiz de Y. Como Y é um quadrado perfeito, sua raiz é o produto dos fatores primos com metade dos expoentes. Isso é mais rápido do que calcular √900 diretamente.

Por que esta fórmula: Se Y = 2² × 3² × 5², então √Y = 2^(2/2) × 3^(2/2) × 5^(2/2) = 2 × 3 × 5.

Y=2×3×5\sqrt{Y} = 2 \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 22 = passo 3: fator 2 de Y · 33 = passo 3: fator 3 de Y · 55 = passo 3: fator 5 de Y

900=2×3×5=30\sqrt{900} = 2 \times 3 \times 5 = \boxed{30}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no passo 2 e responder 15, que é o valor de n, não a raiz de Y.

Resposta: 30 — alternativa D

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