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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu219286
Banca
VUNESP
Órgão
CEFSA
Ano
2025
Cargo
CA ( )
Carlos e Mariana encontraram dois terrenos retangulares A e B, e as informações dos terrenos obtidas com o corretor foram as seguintes:   • O terreno A tem o comprimento com 3 metros a mais do que sua largura.   • O terreno B tem o comprimento igual ao dobro da largura do terreno A e sua largura tem 1 metro a menos do que a largura do terreno A.   • A área do terreno B tem 6 m2 a mais do que a área do terreno A.   A área total desses dois terrenos é igual a
  1. A102 m2.
  2. B109 m2.
  3. C114 m2.
  4. D118 m2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 114 m2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 114 m² — alternativa C.

A ideia por trás

A área de um retângulo é a medida da superfície que ele ocupa, calculada multiplicando o comprimento pela largura. Quando um problema descreve um retângulo em função de outro, a estratégia é escolher uma medida de referência — aqui, a largura do terreno A — e escrever todas as outras dimensões a partir dela.

A relação fundamental é área = comprimento × largura. Se uma dimensão cresce, a área cresce na mesma proporção; se as duas crescem, a área cresce com o produto delas. A diferença de áreas entre dois retângulos é a diferença entre esses produtos, e é essa diferença que o enunciado fornece para montar uma equação.

Esta questão cobra a tradução de um texto em expressões algébricas e a resolução de uma equação do 2º grau. O passo crítico é montar corretamente as expressões das áreas e igualar a diferença a 6 m².

O que a questão dá

  • comprimento de A = largura de A + 3 m

  • comprimento de B = 2 × largura de A

  • largura de B = largura de A - 1 m

  • área de B = área de A + 6 m²

O que queremos: a área total dos dois terrenos

Passo 1 — Definir a largura de A como x

Precisamos de uma incógnita para começar a montar as expressões. Como o terreno B é descrito em função da largura de A, chamar essa largura de x é o caminho mais direto.

NÃO CAIA NESSA!

Escolher outra incógnita, como o comprimento de A, complica as expressões e aumenta a chance de erro.

Passo 2 — Escrever as áreas em função de x

Com as dimensões expressas em x, podemos calcular as áreas de cada terreno. A área de um retângulo é o produto do comprimento pela largura.

Por que esta fórmula: A fórmula da área do retângulo é A = comprimento × largura. Aplicamos para cada terreno, substituindo as expressões do passo 1.

AA=x⋅(x+3),AB=2x⋅(x−1)A_A = x \cdot (x + 3), \quad A_B = 2x \cdot (x - 1)

De onde vem cada valor: xx = passo 1: largura de A · x+3x + 3 = enunciado: comprimento de A = largura de A + 3 · 2x2x = enunciado: comprimento de B = 2 × largura de A · x−1x - 1 = enunciado: largura de B = largura de A - 1

NÃO CAIA NESSA!

Trocar o sinal: usar x+1 em vez de x-1 para a largura de B, ou esquecer o +3 no comprimento de A.

Passo 3 — Montar a equação da diferença de áreas

O enunciado diz que a área de B é 6 m² maior que a de A. Essa relação é a chave para encontrar x, pois transforma as expressões do passo 2 em uma equação.

Por que esta fórmula: A frase 'área de B tem 6 m² a mais que a área de A' se traduz em A_B = A_A + 6. Substituímos as expressões e rearranjamos para igualar a zero.

2x2−2x=x2+3x+62x^{2} - 2x = x^{2} + 3x + 6

De onde vem cada valor: 2x2−2x2x^{2} - 2x = passo 2: A_B = 2x(x-1) = 2x² - 2x · x2+3xx^{2} + 3x = passo 2: A_A = x(x+3) = x² + 3x · 66 = enunciado: diferença de áreas

2x2−2x=x2+3x+62x^{2} - 2x = x^{2} + 3x + 6
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a relação, escrevendo A_A = A_B + 6, o que leva a uma equação com raízes diferentes.

Passo 4 — Resolver a equação do 2º grau

Precisamos do valor de x para calcular as áreas. A equação do passo 3 é do 2º grau; vamos resolvê-la algebricamente, isolando x.

Por que esta fórmula: A equação x² - 5x - 6 = 0 pode ser resolvida por fatoração: procuramos dois números que somam -5 e multiplicam -6, que são 6 e -1. Assim, (x-6)(x+1)=0.

x2−5x−6=0x^{2} - 5x - 6 = 0

De onde vem cada valor: x2x^{2} = passo 3: 2x² - x² = x² · −5x-5x = passo 3: -2x - 3x = -5x · −6-6 = passo 3: -6

(x−6)(x+1)=0(x - 6)(x + 1) = 0

x = 6 (descartando x = -1)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que x é uma medida de comprimento e aceitar x = -1, que não faz sentido físico.

Passo 5 — Calcular as áreas individuais

Com x = 6, substituímos nas expressões do passo 2 para obter as áreas de cada terreno.

Por que esta fórmula: Usamos as mesmas fórmulas de área, agora com o valor numérico de x.

AA=6⋅(6+3),AB=2⋅6⋅(6−1)A_A = 6 \cdot (6 + 3), \quad A_B = 2 \cdot 6 \cdot (6 - 1)

De onde vem cada valor: 66 = passo 4: x = 6 · 6+36 + 3 = passo 1: comprimento de A · 2⋅62 \cdot 6 = passo 1: comprimento de B · 6−16 - 1 = passo 1: largura de B

AA=6⋅9=54,AB=12⋅5=60A_A = 6 \cdot 9 = 54, \quad A_B = 12 \cdot 5 = 60

A_A = 54 m², A_B = 60 m²

NÃO CAIA NESSA!

Errar a aritmética: por exemplo, calcular 6×9 como 56 ou 12×5 como 55.

Passo 6 — Somar as áreas

A pergunta é pela área total, então somamos as áreas individuais obtidas no passo 5.

Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas dos dois terrenos.

Atotal=AA+ABA_{total} = A_A + A_B

De onde vem cada valor: AAA_A = passo 5: 54 m² · ABA_B = passo 5: 60 m²

Atotal=54+60=114 m2A_{total} = 54 + 60 = \boxed{114\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar errado, como 54+60 = 104 ou 114, mas com erro de digitação.

Resposta: 114 m² — alternativa C

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