GabaritoA — 48 cm.
Gabarito: letra A — a conta chega a 48 cm — alternativa A.
O perímetro de um triângulo é a soma dos comprimentos dos seus três lados. Para calculá-lo, precisamos conhecer cada lado. Nesta figura, a altura AD divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, onde o Teorema de Pitágoras pode ser aplicado para encontrar os lados desconhecidos.
O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² = b² + c². Ele vale apenas para triângulos retângulos, e é a ferramenta que liga os catetos conhecidos à hipotenusa que queremos achar.
Esta questão exige primeiro usar a relação entre BC e BD para descobrir BD, depois aplicar Pitágoras nos dois triângulos retângulos formados pela altura AD, e finalmente somar os três lados para obter o perímetro.
AD = 8 cm
BC = 21 cm
BC é três vezes e meia BD
O que queremos: o perímetro do triângulo ABC
O enunciado diz que BC é três vezes e meia BD, mas não dá BD diretamente. Precisamos dele para dividir a base e aplicar Pitágoras nos triângulos menores.
Por que esta fórmula: A frase 'três vezes e meia' significa multiplicar por 3,5. Como BC = 3,5 × BD, para isolar BD dividimos os dois lados por 3,5.
De onde vem cada valor: = enunciado: 21 cm · = enunciado: 'três vezes e meia' (constante)
Multiplicar 21 por 3,5 em vez de dividir — isso daria 73,5 cm, um valor impossível para um segmento dentro de BC.
A base BC é formada por BD + DC. Como já temos BD, subtraímos para achar DC, que é o outro cateto do triângulo ADC.
Por que esta fórmula: A soma das partes é o todo: BC = BD + DC, então DC = BC − BD.
De onde vem cada valor: = enunciado: 21 cm · = passo 1: 6 cm
Esquecer de subtrair e usar DC = 21 cm, o que faria o triângulo ADC ter dois catetos iguais e daria um perímetro errado.
O triângulo ABD é retângulo em D, com catetos AD e BD. O lado AB é a hipotenusa, e o Teorema de Pitágoras é exatamente a relação que liga catetos e hipotenusa.
Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, AB é a hipotenusa, AD e BD são os catetos.
De onde vem cada valor: = enunciado: 8 cm · = passo 1: 6 cm
Trocar os catetos e usar AB² = AD² − BD², o que daria √28 ≈ 5,29 cm.
O triângulo ADC também é retângulo em D, com catetos AD e DC. O lado AC é a hipotenusa, e aplicamos o mesmo teorema.
Por que esta fórmula: Mesma justificativa do passo anterior: AC é a hipotenusa do triângulo retângulo ADC.
De onde vem cada valor: = enunciado: 8 cm · = passo 2: 15 cm
Usar BD em vez de DC aqui — isso daria AC = 10 cm, igual a AB, e o perímetro sairia 41 cm.
Perímetro é a soma de todos os lados do triângulo. Já temos os três lados: AB, AC e BC.
Por que esta fórmula: O perímetro P de um triângulo é a soma dos comprimentos dos seus lados.
De onde vem cada valor: = passo 3: 10 cm · = passo 4: 17 cm · = enunciado: 21 cm
Esquecer de somar o lado BC, ficando com 27 cm — isso daria a alternativa C, que é pegadinha.
Resposta: 48 cm — alternativa A
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