Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

Geometria Analítica: equação da reta

Gabarito: letra A — a reta t passa pelos pontos Q(0, 3) e R(6, 0), e a equação que satisfaz ambos é $y = -\frac{x}{2} + 3$. O caminho é: encontrar Q (interseção de r com o eixo y), encontrar R (interseção de s com o eixo x) e, com os dois pontos, determinar a equação da reta t.

A ideia por trás

Uma reta no plano cartesiano pode ser representada pela equação reduzida $y = mx + b$, onde $m$ é o coeficiente angular (a inclinação) e $b$ é o coeficiente linear (o ponto onde a reta corta o eixo y). Para encontrar a equação de uma reta, precisamos de dois pontos distintos ou de um ponto e o coeficiente angular.

Nesta questão, temos três retas: r, s e t. A reta r é dada por $y = \frac{x}{2} + 3$. A reta s tem coeficiente angular $m_s = -1$ e passa pelo ponto P(2, 4). A reta t passa pelos pontos Q e R, que são interseções das retas r e s com os eixos coordenados.

Passo 1: Encontrar o ponto Q

O ponto Q é a interseção da reta r com o eixo das ordenadas (eixo y). No eixo y, a coordenada x é sempre 0. Substituindo x = 0 na equação de r:

$y = \frac{0}{2} + 3 = 3$

Portanto, Q = (0, 3).

Passo 2: Encontrar a equação da reta s

A reta s tem coeficiente angular $m_s = -1$ e passa pelo ponto P(2, 4). Usando a forma ponto-inclinação da equação da reta:

$y - y_0 = m(x - x_0)$

Substituindo $m = -1$, $x_0 = 2$ e $y_0 = 4$:

$y - 4 = -1(x - 2)$

$y - 4 = -x + 2$

$y = -x + 6$

Passo 3: Encontrar o ponto R

O ponto R é a interseção da reta s com o eixo das abscissas (eixo x). No eixo x, a coordenada y é sempre 0. Substituindo y = 0 na equação de s:

$0 = -x + 6$

$x = 6$

Portanto, R = (6, 0).

Passo 4: Encontrar a equação da reta t

A reta t passa pelos pontos Q(0, 3) e R(6, 0). Podemos calcular o coeficiente angular $m_t$ usando a fórmula:

$m_t = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 3}{6 - 0} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

Como a reta t passa pelo ponto Q(0, 3), que é exatamente o ponto onde ela corta o eixo y, o coeficiente linear $b_t$ é 3. Portanto, a equação da reta t é:

$y = -\frac{1}{2}x + 3$

Que é exatamente a alternativa A.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $y = -\frac{x}{2} + 3$ tem coeficiente angular $-\frac{1}{2}$ e coeficiente linear 3. Verificamos que ela passa por Q(0, 3) e R(6, 0):

• Para Q(0, 3): $y = -\frac{0}{2} + 3 = 3$ ✓

• Para R(6, 0): $y = -\frac{6}{2} + 3 = -3 + 3 = 0$ ✓

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $y = -\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ tem o coeficiente angular correto ($-\frac{1}{2}$), mas o coeficiente linear errado ($\frac{3}{2}$ em vez de 3). Isso faria a reta passar por (0, 1,5) e não por Q(0, 3). O erro está em confundir o coeficiente linear com o valor de y quando x = 0 na reta r, que é 3, não $\frac{3}{2}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $y = -\frac{x}{3} + 1$ tem coeficiente angular $-\frac{1}{3}$, que não é o coeficiente angular da reta t ($-\frac{1}{2}$). Além disso, o coeficiente linear é 1, não 3. Essa alternativa parece ter sido construída com números aleatórios que não correspondem a nenhum cálculo da questão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $y = -\frac{x}{3} + 3$ tem o coeficiente linear correto (3), mas o coeficiente angular errado ($-\frac{1}{3}$ em vez de $-\frac{1}{2}$). O erro está em calcular o coeficiente angular incorretamente, talvez confundindo a variação de x com a variação de y.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação $y = -x + 3$ tem o coeficiente linear correto (3), mas o coeficiente angular errado (-1 em vez de $-\frac{1}{2}$). O coeficiente angular -1 é o da reta s, não o da reta t. A banca troca o coeficiente angular de uma reta pelo de outra para confundir o candidato.

Gabarito: letra A