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Questão de Matemática — Progressão Geométrica — VUNESP 2025

MatemáticaProgressão Geométrica
Código
vu219299
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFIMES
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
A sequência numérica (4, x, y) é uma progressão aritmética (PA) crescente, e a sequência numérica (4, x, 16) é uma progressão geométrica (PG). Sabendo que os 2 primeiros termos das duas sequências numéricas são os mesmos, a soma dos termos da PA é
  1. A24.
  2. B28.
  3. C26.
  4. D30.
  5. E22.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 24.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a Soma = 24 — alternativa A.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma lista de números em que cada termo é o anterior somado a uma constante, chamada razão. Já uma progressão geométrica (PG) é uma lista em que cada termo é o anterior multiplicado por uma constante, também chamada razão. A diferença essencial está na operação: na PA somamos sempre o mesmo valor; na PG multiplicamos sempre pelo mesmo valor.

Em três termos consecutivos de uma PG, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos: se (a, b, c) é PG, então b² = a·c. Em três termos consecutivos de uma PA, o termo do meio é a média aritmética dos extremos: se (a, b, c) é PA, então b = (a + c)/2. Essas propriedades valem para qualquer sequência com três termos consecutivos, e são elas que permitem montar equações a partir dos termos dados.

Esta questão mistura as duas progressões: o mesmo x aparece como segundo termo da PA e da PG. Usamos a propriedade da PG para descobrir x, depois a da PA para descobrir y, e por fim somamos os três termos.

O que a questão dá

  • primeira sequência: (4, x, y) é uma PA crescente

  • segunda sequência: (4, x, 16) é uma PG

  • os dois primeiros termos das duas sequências são os mesmos

O que queremos: a soma dos termos da PA (4, x, y)

Passo 1 — Aplicar a propriedade da PG para achar x

A PG (4, x, 16) tem três termos, e a propriedade que liga os três é a do termo do meio: o quadrado do termo do meio é o produto dos extremos. Isso nos dá uma equação só com x, então é o primeiro passo natural.

Por que esta fórmula: Para uma PG (a, b, c), vale b² = a·c. Aqui a = 4, b = x, c = 16.

x2=4⋅16x^{2} = 4 \cdot 16

De onde vem cada valor: xx = enunciado: segundo termo da PG · 44 = enunciado: primeiro termo da PG · 1616 = enunciado: terceiro termo da PG

x2=4⋅16=64x^{2} = 4 \cdot 16 = 64

x = 8 ou x = -8

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a equação x² = 64 tem duas raízes: +8 e -8. Muitos marcam só o 8, mas a raiz negativa também satisfaz a PG.

Passo 2 — Escolher o x que torna a PA crescente

A equação do passo anterior deu dois valores possíveis para x, mas o enunciado diz que a PA é crescente. Isso significa que cada termo é maior que o anterior, então o segundo termo x deve ser maior que o primeiro termo 4.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma decisão lógica. Se x = -8, a sequência (4, -8, y) seria decrescente, contrariando o enunciado. Portanto, x = 8.

x=8x = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Aceitar x = -8 sem verificar a condição de crescimento. Isso levaria a uma PA decrescente e a uma soma diferente.

Passo 3 — Aplicar a propriedade da PA para achar y

Agora que sabemos x = 8, a PA é (4, 8, y). A propriedade da PA com três termos diz que o termo do meio é a média aritmética dos extremos, o que nos dá uma equação para y.

Por que esta fórmula: Para uma PA (a, b, c), vale b = (a + c)/2. Aqui a = 4, b = 8, c = y.

8=4+y28 = \frac{4 + y}{2}

De onde vem cada valor: 88 = passo 2: x = 8 · 44 = enunciado: primeiro termo da PA · yy = enunciado: terceiro termo da PA

8=4+y28 = \frac{4 + y}{2}
y=12y = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a álgebra ao multiplicar por 2: 8·2 = 16, então 16 = 4 + y, logo y = 12. Alguns subtraem 4 de 8 e obtêm y = 4, o que está errado.

Passo 4 — Somar os termos da PA

Com x = 8 e y = 12, a PA é (4, 8, 12). O que a questão pede é a soma desses três termos, então basta somá-los.

Por que esta fórmula: A soma é simplesmente a adição dos três termos: 4 + 8 + 12.

S=4+8+12S = 4 + 8 + 12

De onde vem cada valor: 44 = enunciado: primeiro termo da PA · 88 = passo 2: x = 8 · 1212 = passo 3: y = 12

S=4+8+12=24S = 4 + 8 + 12 = \boxed{24}
NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas os dois primeiros termos (4 + 8 = 12) e esquecer o y, ou usar y = 4 (erro do passo anterior) e obter 16.

Resposta: Soma = 24 — alternativa A

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