Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219300
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFIMES
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Em um mesmo dia, José precisa ir a 5 estabelecimentos diferentes, entre eles a padaria e o banco. Sabe-se que José sempre vai à padaria em último lugar, que nunca vai ao banco em primeiro lugar e que não há preferência de ordem em relação aos demais estabelecimentos. Nessas condições, o número de maneiras distintas que José tem para escolher a ordem em que irá a esses 5 estabelecimentos é
A24.
B18.
C12.
D15.
E20.
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GabaritoB — 18.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 18 maneiras — alternativa B.
A ideia por trás
Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras diferentes podemos organizar ou escolher elementos. Quando a ordem importa, como numa fila de visitas, cada sequência é uma permutação. O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem p opções e a seguinte tem q, o total é p vezes q — é a base de quase toda contagem.
Para permutar n objetos distintos, o número de ordens é n! (fatorial), que é o produto n × (n-1) × ... × 1. Mas quando há restrições, como 'este sempre no fim' ou 'aquele nunca no começo', precisamos ajustar: fixamos posições obrigatórias e excluímos as proibidas, contando as possibilidades de cada posição em sequência e multiplicando.
Esta questão mistura uma posição fixa (padaria no último) com uma proibição (banco não no primeiro). O caminho é preencher as posições uma a uma, respeitando as regras, e multiplicar as opções de cada etapa.
O que a questão dá
5 estabelecimentos no total
padaria sempre em último lugar
banco nunca em primeiro lugar
demais estabelecimentos sem restrição
O que queremos: o número de ordens possíveis para visitar os 5 estabelecimentos
Passo 1 — Fixar a padaria na última posição
A padaria sempre vai em último lugar, então a posição 5 já está determinada. Isso reduz o problema de organizar 5 para organizar 4, mas ainda temos a restrição do banco para cuidar.
1 possibilidade para a posição 5
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a padaria fixa já elimina uma posição e tentar permutar os 5 normalmente.
Passo 2 — Contar as opções para a primeira posição
Agora que a última posição está ocupada, precisamos preencher a primeira. O banco não pode ir ali, então só os outros 3 estabelecimentos (além da padaria e do banco) podem ocupar a posição 1.
3 opções para a posição 1
NÃO CAIA NESSA!
Incluir o banco nas opções da primeira posição, contando 4 em vez de 3.
Passo 3 — Permutar os três estabelecimentos restantes
Depois de escolher quem vai primeiro, sobram 3 estabelecimentos para as posições 2, 3 e 4: o banco e os dois que não foram escolhidos. Como não há mais restrições, eles podem ser organizados em qualquer ordem.
Por que esta fórmula: O número de maneiras de ordenar 3 objetos distintos é 3! (3 fatorial), que é 3 × 2 × 1 = 6.
De onde vem cada valor: = passo 2: restaram 3 estabelecimentos para as posições 2, 3 e 4
NÃO CAIA NESSA!
Usar 4! em vez de 3!, contando a posição da padaria como se ainda estivesse livre.
Passo 4 — Multiplicar as possibilidades de cada etapa
O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha tem 3 opções e a seguinte tem 6, o total de combinações é o produto. Aqui, a escolha do primeiro (3 opções) e a ordem dos três restantes (6 opções) são independentes, então multiplicamos.
Por que esta fórmula: Total = (opções para posição 1) × (permutações das posições 2-4).
De onde vem cada valor: = passo 2: opções para a primeira posição · = passo 3: permutações dos três restantes