Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2025

Relações métricas e trigonometria no triângulo retângulo

Gabarito: letra C — o valor de $\tan \beta$ é $\frac{3}{4}$. A resolução combina o Teorema de Pitágoras (para achar os lados do triângulo ABC a partir do seno de α) com a semelhança de triângulos e a definição de tangente no triângulo FBD.

O problema mistura dois triângulos retângulos que compartilham o vértice B e têm hipotenusas de mesma medida. O primeiro passo é extrair do seno de α as proporções dos lados do triângulo ABC. Como $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ e o seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa, temos um triângulo pitagórico clássico: catetos 3 e 4, hipotenusa 5. A área do quadrado BCEF ser 81 cm² nos diz que seu lado mede 9 cm — e esse lado é justamente o cateto BC do triângulo ABC. Assim, a escala do triângulo ABC é 9/3 = 3, o que torna os lados: BC = 9, AB = 12 e AC = 15.

Como AC = DF = 15, o triângulo FBD também tem hipotenusa 15. O ponto D está no prolongamento de BC, então BD = BC + CD. O lado CE do quadrado intersecta a hipotenusa DF, e o ângulo β é formado no vértice F entre o lado FD (hipotenusa) e o lado FE do quadrado. Para achar a tangente de β, precisamos identificar os catetos oposto e adjacente a esse ângulo no triângulo retângulo que contém β.

A chave está na semelhança entre os triângulos ABC e FBD. Ambos são retângulos em B, e o ângulo α aparece no vértice A do primeiro. Como os triângulos são semelhantes (possuem dois ângulos iguais), os lados correspondentes são proporcionais. A hipotenusa de FBD é 15, igual à de ABC, então a escala é 1:1 — os triângulos são congruentes! Isso significa que os catetos de FBD também são 9 e 12. O ponto F está alinhado com A e B, e o quadrado BCEF tem lado 9, então BF = 9. No triângulo FBD, o cateto BF = 9 e o cateto BD = 12. O ângulo β, formado no vértice F entre a hipotenusa FD e o lado FE (que é perpendicular a BF), tem como cateto oposto o segmento BD = 12 e como cateto adjacente o segmento BF = 9. Portanto, $\tan \beta = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{4}{5}$ não corresponde a nenhuma razão direta dos lados dos triângulos. Ele poderia ser obtido se o aluno calculasse $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ e confundisse com a tangente de β. A tangente é cateto oposto sobre cateto adjacente, não uma razão envolvendo a hipotenusa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{5}{4}$ é o inverso de $\frac{4}{5}$, que seria o cosseno de α. Não há relação direta com a tangente de β. O aluno pode ter confundido as razões trigonométricas ou invertido a fração correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3}{4}$ é a tangente de α (cateto oposto 3 sobre cateto adjacente 4 no triângulo ABC). A banca coloca esse valor como distrator, pois o aluno pode calcular a tangente de α e achar que é a de β. No entanto, β está no triângulo FBD, onde a tangente é $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A tangente de β é $\frac{4}{3}$. No triângulo FBD, o ângulo β tem cateto oposto BD = 12 e cateto adjacente BF = 9, resultando em $\tan \beta = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$. A semelhança entre ABC e FBD garante que os lados correspondentes são iguais, pois as hipotenusas têm a mesma medida.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3}{2}$ não corresponde a nenhuma razão direta dos lados. Poderia ser obtido se o aluno calculasse $\frac{AB}{BC} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ e depois simplificasse incorretamente, ou se confundisse os lados do triângulo.

Gabarito: letra D